Diberikan ring $(R,+,\cdot)$. Dari ddefinisi ring, diperoleh bahwa $(R,+)$ merupakan grup. Dengan demikian, pada $R$ terdapat elemen nol \index{elemen nol} $0_R$ sedemikian sehingga untuk setiap $r$ di $R$ memenuhi:
$$
0_R+r=r+0_R=r,
$$
dan untuk setiap elemen $r\in R$ terdapat $-r \in R$ sedemikian hingga
$$
r+(-r)=(-r)+r=0_R.
$$
Selanjutnya, untuk mempersingkat penulisan, perkalian $r_1\cdot r_2$ dapat ditulis $r_1 r_2$ dan penjumlahan $r_{1}+(-r_{2})$ dapat ditulis $r_{1}-r_{2}$. Berikut sifat-sifat dasar dari ring $R$ dalam kaitannya dengan operasi perkaliannya.
Teorema 1. Jika ($R,+,\cdot$) merupakan ring maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
|
Bukti.
- Diambil sebarang $r\in R$. Berdasarkan sifat distributif dan sifat elemen nol, diperoleh $r0_R+r0_R=r(0_R+0_R)=r0_R$. Perhatikan bahwa
\begin{eqnarray*}
&(r0_R+r0_R)+(-(r0_R))&=r0_R+(-(r0_R))\\
&r0_R+(r0_R+(-(r0_R)))&=0_R\\
&\hspace{2.5cm}r0_R+0_R&=0_R,
\end{eqnarray*}
sehingga diperoleh $r0_R=0_R$.
Selanjutnya, diambil sebarang $r\in R$. Berdasarkan sifat distributif dan elemen nol, diperoleh $0_Rr+0_Rr=(0_R+0_R)r=0_Rr$. Perhatikan bahwa
\begin{eqnarray*}
&(0_Rr+0_Rr)+(-(0_Rr))&=0_Rr+(-(0_Rr))\\
&0_Rr+(0_Rr+(-(0_Rr)))&=0_R\\
&\hspace{2.5cm}0_Rr+0_R&=0_R,
\end{eqnarray*}
sehingga diperoleh $0_Rr=0_R$. - Diambil sebarang $r_1, r_2 \in R$. Berdasarkan sifat distributif, diperoleh
\begin{eqnarray*}
r_1r_2+(-r_1)r_2&=&(r_1+(-r_1))r_2=0_Rr_2\\
&=&0_R\\
&=&0_Rr_2=(-r_1+r_1)r_2=(-r_1)r_2+r_1r_2
\end{eqnarray*}
dan
\begin{eqnarray*}
r_1r_2+r_1(-r_2)&=&r_1(r_2+(-r_2))=r_10_R\\
&=&0_R\\
&=&r_10_R=r_1(-r_2+r_2)=r_1(-r_2)+r_1r_2.
\end{eqnarray*}
Karena elemen invers dari $r_1r_2$ adalah $-(r_1r_2)$ dan elemen invers bersifat tunggal, diperoleh $$(-r_1)r_2=-(r_1r_2)=r_1(-r_2).$$ - Diambil sebarang $r_1, r_2 \in R$. Dengan menggunakan sifat (ii), diperoleh
$$(-r_1)(-r_2)=-(r_1(-r_2))=-(-(r_1r_2))=r_1r_2.$$ - Diambil sebarang $r_1, r_2,r_{3} \in R$. Karena $r_2-r_3=r_2+(-r_3)$, diperoleh
\begin{align*}
r_1(r_2 – r_3) &= r_1 (r_2+(-r_3))=r_1r_2+r_1(-r_3)\\
&= r_1r_2+(-(r_1r_3))=r_1r_2 – r_1r_3.
\end{align*}
Secara analog, dapat dibuktikan $(r_2 – r_3)r_1=r_2r_1-r_3r_1$.
$\blacksquare$
Pada ring ($\mathbb{Z},+,\cdot $), terdapat elemen $1\in\mathbb{Z}$ sedemikian sehingga bersifat $1r=r=r1$ untuk setiap $r\in\mathbb{Z}$. Berbeda dengan ring ($2\mathbb{Z},+,\cdot $), tidak ada elemen $e\in 2\Z$ sedemikian sehingga untuk setiap $r\in R$ berlaku $er=r=re$. Selanjutnya, untuk sebarang ring $(R,+,\cdot)$, suatu elemen $e\in R$ disebut\index{elemen satuan} elemen satuan jika untuk setiap $r\in R$ berlaku sifat $er=r=re$.
Jika diperhatikan kembali ring ($\mathbb{Z},+,\cdot $) dan ($2\mathbb{Z},+,\cdot $) maka tampak bahwa ring $\Z$ memiliki elemen satuan, sedangkan ring $2\Z$ tidak memiliki elemen satuan. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa secara umum struktur ring belum tentu memuat elemen satuan terhadap operasi perkaliannya. Elemen satuan dalam suatu ring $R$ (jika ada) biasanya dinotasikan dengan $1_R$.
| Teorema 2. Diketahui $(R,+,\cdot)$ ring dengan elemen satuan $1_{R}$ dan memiliki lebih dari satu anggota. Maka berlaku $1_{R}\neq 0_{R}$. |
Bukti. Andaikan $1_{R}=0_{R}$. Karena $R$ memiliki lebih dari satu anggota, maka ada $r\in R$ dengan $r\neq 1_{R}$ dan $r\neq 0_{R}$. Diperhatikan bahwa $r=r1_{R}=r0_{R}=0_{R}$. Kontradiksi dengan $r\neq 0_{R}$. Jadi haruslah $1_{R}\neq 0_{R}$.
$\blacksquare$