Misal diberikan himpunan tak kosong . Diperhatikan fungsi-fungsi bijektif dari
ke
. Suatu fungsi bijektif dari
ke
disebut permutasi dari
.
Kita kumpulkan semua fungsi bijektif dari ke
, sehingga kita peroleh himpunan
Jelas bahwa himpunan merupakan himpunan yang tidak kosong, sebab fungsi identitas
termuat di
. Apabila himpunan tersebut kita lengkapi dengan operasi komposisi fungsi, yaitu
, maka
merupakan suatu grup.
- Grup
disebut Grup Simetri dari
.
- Suatu subgrup dari
disebut Grup Permutasi.
Pertanyaan:
Apakah merupakan grup komutatif?
\ bukan grup komutatif.
GRUP SIMETRI
Sekarang kita akan melihat permutasi-permutasi dari himpunan berhingga ,
.
Misal diambil contoh untuk . Perhatikan semua kemungkinan permutasi dari
sebagai berikut:
Untuk mempersingkat penulisan, suatu permutasi dapat ditulis dengan notasi dua-baris. Sebagai contoh,
Baris pertama dari notasi tersebut menyatakan domain dari fungsi , dan baris kedua secara berturut-turut menyatakan hasil peta bilangan di atasnya oleh fungsi
, yaitu
,
. Dari notasi tersebut, mudah dipahami bahwa
,
, dan
.
Himpunan semua permutasi dari , yakni
, selanjutnya akan dinotasikan dengan notasi
agar lebih efisien dalam penulisannya. Dengan demikian, dari uraian di atas diperoleh
yang merupakan grup simetri terhadap operasi komposisi fungsi .
Latihan:
Lengkapilah Tabel Cayley berikut ini!
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||
![]() |
||||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
||||||
![]() |
||||||
![]() |
Ilustrasi Perhitungan Operasi Komposisi:
sebab