Universitas Gadjah Mada Universitas Gadjah Mada

Menara Ilmu: Struktur Aljabar

  • Beranda
  • Tentang
    • Overview Website
    • Tim Pengembang
  • Materi Dasar
    • Relasi Ekuivalensi
    • Operasi Biner
  • Teori Grup
    • Grup dan Subgrup
      • Definisi Grup
      • Sifat-Sifat Elementer Grup
      • Subgrup
    • Contoh Grup
      • Grup Bilangan Bulat Modulo n
      • Grup Simetri dan Grup Permutasi
    • Subgrup dan Pembangunnya
      • Subgrup Yang Dibangun Oleh Suatu Himpunan
      • Perkalian Dua Subgrup
      • Grup Siklik
    • Grup Faktor
      • Koset
      • Subgrup Normal dan Grup Faktor
    • Homomorfisma Grup
    • Materi Terkait Teori Grup
  • Teori Ring
    • Definisi Ring
    • Sifat-sifat Elementer Ring
    • Subring, Suatu Ring Di Dalam Ring
    • Definisi Ideal
    • Ring Faktor
    • Ideal yang Dibangun Himpunan
    • Materi Terkait Teori Ring
  • Tutorial
  • Beranda
  • Teori Grup
  • Subgrup: Suatu Grup Di Dalam Grup

Subgrup: Suatu Grup Di Dalam Grup

  • Teori Grup
  • 23 June 2018, 12.04
  • Oleh: admin
  • 0

Dalam teori grup, salah satu contoh grup yang sudah umum diketahui adalah himpunan semua bilangan bulat \mathbb{Z} terhadap operasi penjumlahahan. Beberapa himpunan bagian tak kosong yang dimiliki himpunan \mathbb{Z} diantaranya adalah himpunan 2\mathbb{Z} (himpunan semua bilangan genap) dan himpunan 2\mathbb{Z}+1 (himpunan semua bilangan ganjil).

Kita perhatikan bahwa himpunan 2\mathbb{Z} merupakan grup terhadap operasi penjumlahan sebab:

  1. untuk setiap a,b\in 2\mathbb{Z} berlaku a+b\in 2\mathbb{Z};
  2. untuk setiap a,b,c\in 2\mathbb{Z} berlaku (a+b)+c=a+(b+c);
  3. terdapat 0\in 2\mathbb{Z} sehingga untuk setiap a \in 2\mathbb{Z} berlaku a+0=0+a=a;
  4. untuk setiap a\in 2\mathbb{Z} terdapat -a\in 2\mathbb{Z} sedemikian hingga berlaku

        \[a+(-a)=(-a)+a=0.\]

Di lain pihak, himpunan 2\mathbb{Z}+1 bukan grup terhadap operasi penjumlahan, sebab operasi penjumlahan tidak tertutup pada himpunan 2\mathbb{Z}+1 (jumlahan dua bilangan ganjil hasilnya bukan bilangan ganjil). Dengan memperhatikan dua fenomena tersebut, suatu himpunan bagian tak kosong dari suatu grup dapat menjadi suatu grup atau bukan grup (terhadap operasi yang sama pada grupnya). Pada kasus himpunan bagian tak kosong tersebut merupakan grup, memotivasi didefinisikan pengertian subgrup.

Definisi 1. Diberikan himpunan bagian tak kosong H dari grup (G,*). Himpunan H disebut subgrup dari G jika H merupakan grup terhadap operasi yang sama pada G, yaitu operasi *.

Contoh 2. Berikut adalah contoh-contoh subgrup.

  1. Mudah dipahami bahwa 2\Z merupakan subgrup dari grup (\Z,+). Secara umum, untuk setiap n\in\Z^{\geq 0}, n\Z merupakan subgrup dari grup (\Z,+).
  2. Karena (\Z,+) dan (\R,+) keduanya merupakan grup dan \Z\subset \R, maka \Z merupakan subgrup dari grup \R.
  3. Himpunan semua matriks diagonal berukuran 2\times 2, yaitu D=\left\{\begin{bmatrix}x & 0\\0 & y\end{bmatrix}\mid x,y\in\R\right\}, merupakan subgrup dari grup (M_{2\times 2}(\R),+).
  4. Setiap grup (G,*) selalu memuat subgrup, yaitu paling tidak memuat subgrup \{e_{G}\} dan subgrup G. Kedua subgrup itu disebut subgrup trivial.

Berdasarkan definisi di atas, untuk membuktikan suatu himpunan bagian tak kosong dari suatu grup merupakan subgrup, kita perlu mengecek 4 syarat yang harus dipenuhi, yaitu aksiom-aksioma grup. Jika diperhatikan lebih seksama, syarat berlakunya sifat assosiatif bisa kita abaikan karena sifat asosiatif otomatis diwariskan ke himpunan bagian. Dengan adanya fakta ini, diperoleh proposisi berikut ini.

Preposisi 3. Misalkan G adalah grup dan S adalah suatu himpunan tak kosong dari G. Himpunan S merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika pada S dipenuhi sifat-sifat berikut:

  1. untuk setiap x,y\in S berlaku x*y\in S;
  2. terdapat e\in S sehingga untuk semua x\in S berlaku x*e=e*x=x;
  3. untuk setiap x\in S terdapat x^{-1}\in S sedemikian sehingga x*x^{-1}=x^{-1}*x=e.

Berdasarkan proposisi di atas, jika S merupakan subgrup G maka berlaku untuk setiap x,y\in S selalu memenuhi xy^{-1}\in S. Apakah jika untuk setiap x,y\in S maka berlaku S merupakan subgrup G? Jawaban dari pertanyaan tersebut terdapat pada teorema (syarat perlu dan cukup) berikut ini.

Teorema 4. Diberikan grup G dan himpunan bagian tak kosong S dari G. Himpunan S merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika untuk setiap x,y\in S berlaku xy^{-1}\in S.

Berikut adalah contoh penggunaan syarat perlu dan cukup untuk subgrup.

Contoh 5. Diketahui bahwa himpunan M_{2\times 2}(\R) merupakan grup terhadap operasi penjumlahan matriks. Buktikan bahwa himpunan matriks segitiga atas T_{2\times 2}(\R)=\left\{\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}\mid a,b,c\in \mathbb{R}\right\} merupakan subgrup (M_{2\times 2}(\R),+).
Bukti.

  1. Himpunan T_{2\times 2}(\R)\neq \emptyset, sebab \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\in T_{2\times 2}(\R).
  2. Diambil sebarang =\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} x & y\\ 0 & z \end{bmatrix}\in T_{2\times 2}(\R).

        \begin{equation*} A+B^{-1}=A-B=\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} x & y\\ 0 & z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a-x & b-y\\ 0 & c-z \end{bmatrix}\in T_{2\times 2}(\R) \end{equation*}

Berdasarkan syarat perlu dan cukup subgrup, diperoleh kesimpulan bahwa himpunan T_{2\times 2}(\R) merupakan subgrup dari M_{2\times 2}(\R)

\blacksquare

 

Universitas Gadjah Mada

Alamat Kami:

Kanal Pengetahuan dan Menara Ilmu

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Gadjah Mada

Sekip Utara BLS 21 Yogyakarta

© Universitas Gadjah Mada

KEBIJAKAN PRIVASI/PRIVACY POLICY

[EN] We use cookies to help our viewer get the best experience on our website. -- [ID] Kami menggunakan cookie untuk membantu pengunjung kami mendapatkan pengalaman terbaik di situs web kami.I Agree / Saya Setuju