Sifat-Sifat Elementer Grup – STRUKTUR ALJABAR

Kita perhatikan kembali bahwa pada artikel sebelumnya telah dibahas definisi grup yang merupakan abstraksi dari fenomena-fenomena yang kita temui dalam bermatematika di kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah fenomena dalam himpunan $\Z=\{\cdots, -3,-2.-1,0,1,2,3\cdots \}$ yang dilengkapi operasi penjumlahan $+$ . Misal diberikan suatu grup $(G,*)$ . Bagi para pembaca yang baru pertama kali belajar struktur aljabar, untuk mempelajari sifat-sifat elementer dari grup $(G,*)$ secara langsung nampaknya sulit sebab himpunan $G$ tersebut sifatnya abstrak, tidak diketahui secara pasti bentuk elemen-elemennya, apakah berupa bilangan, matriks, fungsi, atau yang lainnya. Mengingat munculnya definisi grup tersebut termotivasi dari $\Z$ yang dilengkapi operasi penjumlahan $+$ , untuk mempelajari sifat-sifat elementer dari grup akan lebih mudah jika kita juga berangkat dari grup bilangan bulat $(\Z,+)$ .

Kita perhatikan bahwa dalam grup bilangan bulat $(\Z,+)$ hanya terdapat satu elemen netral, yaitu $0$ . Hal ini dapat juga kita katakan bahwa elemen netral dalam grup $\Z$ tunggal. Selain itu, kita perhatikan juga bahwa untuk setiap elemen di dalam grup $\Z$ mempunyai tepat satu elemen invers, sebagai contoh: invers $1$ adalah $-1$ , tidak ada elemen lain selain $-1$ di $\Z$ yang merupakan invers dari 1. Pernyataan ini secara ringkas dapat kita katakan bahwa invers setiap elemen di dalam grup $\Z$ tunggal. Kedua sifat tersebut selanjutnya perlu kita lihat keberlakuannya pada sebarang grup $(G,*)$ . Perhatikan lemma berikut.

Lemma. Jika $(G,*)$ merupakan grup, maka:

elemen netral di dalam $(G,*)$ tunggal;
invers setiap elemen dalam $(G,*)$ tunggal.

Bukti.

Misal $e_1$ dan $e_2$ masing-masing adalah elemen netral di dalam grup $G$ . Karena $e_1$ merupakan elemen netral dan $e_2$ adalah suatu elemen di $G$ , diperoleh $e_1e_2=e_2$ . Karena $e_2$ merupakan elemen netral dan $e_1$ adalah suatu elemen di $G$ , diperoleh $e_1e_2=e_1$ . Dengan demikian, diperoleh kesimpulan
$e_1=e_1e_2=e_2.$

Jadi, terbukti bahwa elemen netral di dalam grup $G$ tunggal.
Diambil sebarang $a$ di dalam $G$ . Misal $b_1$ dan $b_2$ masing-masing adalah elemen di dalam $G$ yang merupakan invers dari elemen $a$ . Hal ini berarti $b_1a=e_G$ dan $ab_2=e_G$ . Perhatikan bahwa
$\begin{align*}b_1 &= b_1e_G\\ &= b_1(ab_2)\\ &= (b_1a)b_2\\ &= e_G b_2\\ &= b_2, \end{align*}$

sehingga terbukti ketunggalan invers setiap elemen di dalam $G$ . $\blacksquare$

Selanjutnya, apabila dipunyai $a,b\in G$ , mudah kita pahami bahwa $a*b\in G$ dan $b^{-1}\in G$ . Seperti apakah invers dari masing-masing elemen $a*b$ dan $b^{-1}$ tersebut? Perhatikan lemma berikut.

Lemma. Diberikan grup $(G,*)$ .

Jika $a,b \in G$ maka $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ .
Jika $a\in G$ maka $(a^{-1})^{-1}=a$ .

Bukti.

Diketahui $a,b\in G$ . Akan ditunjukkan bahwa $b^{-1}*a^{-1}$ merupakan invers dari $a*b$ .
Perhatikan bahwa

$\begin{align*} (b^{-1}*a^{-1})*(a*b) &\overset{\text{sifat asosiatif}}{=} b^{-1}*(a^{-1}*a)*b\\ &= b^{-1}*e_G*b\\ &= b^{-1}*b\\ &= e_G \end{align*}$

dan

$\begin{align*} (a*b)*(b^{-1}*a^{-1}) &\overset{\text{sifat asosiatif}}{=} a*(b*b^{-1})*a^{-1}\\ &= a*(e_G)*a^{-1}\\ &= a*a^{-1}\\ &= e_G. \end{align*}$

Jadi, terbukti bahwa $b^{-1}*a^{-1}$ merupakan invers dari $a*b$ , atau dengan kata lain $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ .
Diketahui $a\in G$ . Telah kita ketahui bahwa invers dari elemen $a$ dinotasikan $a^{-1}$ . Hal ini berarti $a*a^{-1}=e_G=a^{-1}*a$ . Dari persamaan tersebut, mudah dipahami bahwa $a$ merupakan invers dari elemen $a^{-1}$ . Karena ketunggalan invers dari elemen di dalam grup dan $(a^{-1})^{-1}$ merupakan notasi untuk invers elemen $a^{-1}$ , diperoleh kesimpulan bahwa $(a^{-1})^{-1}=a$ . $\blacksquare$

Sifat lain yang perlu kita lihat pada grup $(\Z,+)$ adalah sifat kanselasi, yaitu untuk setiap $a,b,c\in\Z$ , jika $a+c=b+c$ maka berakibat $a=b$ . Ternyata sifat ini juga berlaku untuk sebarang grup $(G,*)$ .

Teorema. Diberikan grup $(G,*)$ dan sebarang $a,b,c\in G$ .

Jika $a*c=b*c$ maka $a=b$ . (kanselasi kanan)
Jika $c*a=c*b$ maka $a=b$ . (kanselasi kiri)