Kita perhatikan kembali bahwa pada artikel sebelumnya telah dibahas definisi grup yang merupakan abstraksi dari fenomena-fenomena yang kita temui dalam bermatematika di kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah fenomena dalam himpunan
yang dilengkapi operasi penjumlahan
. Misal diberikan suatu grup
. Bagi para pembaca yang baru pertama kali belajar struktur aljabar, untuk mempelajari sifat-sifat elementer dari grup
secara langsung nampaknya sulit sebab himpunan
tersebut sifatnya abstrak, tidak diketahui secara pasti bentuk elemen-elemennya, apakah berupa bilangan, matriks, fungsi, atau yang lainnya. Mengingat munculnya definisi grup tersebut termotivasi dari
yang dilengkapi operasi penjumlahan
, untuk mempelajari sifat-sifat elementer dari grup akan lebih mudah jika kita juga berangkat dari grup bilangan bulat
.
Kita perhatikan bahwa dalam grup bilangan bulat hanya terdapat satu elemen netral, yaitu
. Hal ini dapat juga kita katakan bahwa elemen netral dalam grup
tunggal. Selain itu, kita perhatikan juga bahwa untuk setiap elemen di dalam grup
mempunyai tepat satu elemen invers, sebagai contoh: invers
adalah
, tidak ada elemen lain selain
di
yang merupakan invers dari 1. Pernyataan ini secara ringkas dapat kita katakan bahwa invers setiap elemen di dalam grup
tunggal. Kedua sifat tersebut selanjutnya perlu kita lihat keberlakuannya pada sebarang grup
. Perhatikan lemma berikut.
Lemma. Jika merupakan grup, maka:
- elemen netral di dalam
tunggal;
- invers setiap elemen dalam
tunggal.
Bukti.
- Misal
dan
masing-masing adalah elemen netral di dalam grup
. Karena
merupakan elemen netral dan
adalah suatu elemen di
, diperoleh
. Karena
merupakan elemen netral dan
adalah suatu elemen di
, diperoleh
. Dengan demikian, diperoleh kesimpulan
Jadi, terbukti bahwa elemen netral di dalam grup
tunggal.
- Diambil sebarang
di dalam
. Misal
dan
masing-masing adalah elemen di dalam
yang merupakan invers dari elemen
. Hal ini berarti
dan
. Perhatikan bahwa
sehingga terbukti ketunggalan invers setiap elemen di dalam
.
Selanjutnya, apabila dipunyai , mudah kita pahami bahwa
dan
. Seperti apakah invers dari masing-masing elemen
dan
tersebut? Perhatikan lemma berikut.
Lemma. Diberikan grup .
- Jika
maka
.
- Jika
maka
.
Bukti.
- Diketahui
. Akan ditunjukkan bahwa
merupakan invers dari
.
Perhatikan bahwadan
Jadi, terbukti bahwa
merupakan invers dari
, atau dengan kata lain
.
- Diketahui
. Telah kita ketahui bahwa invers dari elemen
dinotasikan
. Hal ini berarti
. Dari persamaan tersebut, mudah dipahami bahwa
merupakan invers dari elemen
. Karena ketunggalan invers dari elemen di dalam grup dan
merupakan notasi untuk invers elemen
, diperoleh kesimpulan bahwa
.
Sifat lain yang perlu kita lihat pada grup adalah sifat kanselasi, yaitu untuk setiap
, jika
maka berakibat
. Ternyata sifat ini juga berlaku untuk sebarang grup
.
Teorema. Diberikan grup dan sebarang
.
- Jika
maka
. (kanselasi kanan)
- Jika
maka
. (kanselasi kiri)