Homomorfisma Grup merupakan suatu suatu fungsi dari grup ke grup. Simak video berikut untuk memahami definisi dari homomorfisma grup. ... 

Misal diberikan himpunan tak kosong $X$. Diperhatikan fungsi-fungsi bijektif dari $X$ ke $X$. Suatu fungsi bijektif dari $X$ ke $X$ disebut permutasi dari $X$.
Kita kumpulkan semua fungsi bijektif dari $X$ ke $X$, sehingga kita peroleh himpunan ... 

Misalkan diberikan grup $G$ dan subgrup $S$ di $G$. Untuk setiap $g\in G$, dapat dibentuk himpunan $gS$ dan $Sg$ dengan
\begin{equation*}
gS=\{gs\mid s\in S\}~\text{dan}~Sg=\{sg\mid s\in S\}.
\end{equation*}
Selanjutnya dibentuk himpunan-himpunan berikut:
\begin{equation*}
\mathcal{G}_{R}=\{Sx\mid x\in G\}~\text{dan}~\mathcal{G}_{L}=\{xS\mid x\in G\}
\end{equation*}
Lebih lanjut, elemen-elemen di $\mathcal{G}_{R}$ dan $\mathcal{G}_{L}$ berturut-turut disebut koset kanan dan koset kiri. ... 

Pendefinisian “koset” sangat berkaitan dengan materi “Subgrup Normal dan Grup Faktor” (lihat di sini). Definisi koset muncul dalam proses pembentukan Grup Faktor dengan bermodalkan suatu grup dan suatu subgrupnya. ... 

Dingat kembali definisi subgrup yang dibangun oleh suatu himpunan, yakni jika $G$ grup dan $X$ himpunan bagian dari $G$ maka subgrup di $G$ yang dibangun oleh $X$ adalah $\langle X\rangle$. ... 

Jika $G$ adalah grup, dan $H,K$ masing-masing adalah subgrup di $G$, maka dapat didefinisikan
$$HK=\{hk\mid h\in H,k\in K\}.$$ ... 

Misal diberikan grup $G$ dan himpunan bagian tak kosong $X\subseteq G$. Ada dua kemungkinan yang terjadi pada $X$, yaitu $X$ merupakan subgrup atau $X$ bukan subgrup.
Pertanyaan: Apakah selalu bisa ditemukan subgrup yang memuat $X$?
Jawaban dari pertanyaan tersebut adalah “Ya, selalu bisa. Subgrup yang memuat $X$ adalah $G$.” ... 

Diperhatikan himpunan bilangan bulat modulo $n$:
$$\mathbb{Z}_{n}=\{\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{n-1}\}.$$
Diingat kembali bahwa untuk setiap $\overline{a},\overline{b}\in \mathbb{Z}_{n}$, $\overline{a}=\overline{b}$ jika dan hanya jika $a-b=kn$ untuk suatu bilangan bulat $k$. Selanjutnya didefinisikan operasi penjumlahan $+_{n}$ dengan definisi:
$$\overline{a}+_{n}\overline{b}\overset{def.}{=}\overline{a+b}$$
untuk setiap $\overline{a},\overline{b} \in \mathbb{Z}_{n}$. Berdasarkan pendefinisian operasi $+_{n}$ tersebut, diperoleh bahwa operasi $+_{n}$ merupakan operasi biner. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa $\mathbb{Z}_{n}$ merupakan grup. ... 

Dalam teori grup, salah satu contoh grup yang sudah umum diketahui adalah himpunan semua bilangan bulat $\mathbb{Z}$ terhadap operasi penjumlahahan. Beberapa himpunan bagian tak kosong yang dimiliki himpunan $\mathbb{Z}$ diantaranya adalah himpunan $2\mathbb{Z}$ (himpunan semua bilangan genap) dan himpunan $2\mathbb{Z}+1$ (himpunan semua bilangan ganjil). ... 

Kita perhatikan kembali bahwa pada artikel sebelumnya telah dibahas definisi grup yang merupakan abstraksi dari fenomena-fenomena yang kita temui dalam bermatematika di kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah fenomena dalam himpunan $\Z=\{\cdots, -3,-2.-1,0,1,2,3\cdots \}$ yang dilengkapi ...