Jika adalah grup, dan
masing-masing adalah subgrup di
, maka dapat didefinisikan
Secara umum, belum tentu merupakan subgrupdari
. Berikut ini diberikan syarat perlu dan cukup untuk
agar menjadi subgrup
.
Teorema 1. Misalkan ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Bukti.
Diketahui
subgrup. Akan dibuktikan
. Untuk sebarang
karena
subgrup. Dengan demikian
untuk suatu
dan
yang berakibat
karena
dan
. Dengan kata lain berlaku
. Sebaliknya, untuk sebarang
karena
subgrup. Dengan kata lain berlaku
. Jadi terbukti bahwa
.
Diketahui
. Akan dibuktikan
subgrup
. Untuk sebarang
berlaku
berdasarkan SPC untuk subgrup, terbukti bahwa merupakan subgrup di
.
Akibat 2. Jika ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Bukti. Karena merupakan grup komutatif, maka
. Berdasarkan Teorema ?? diperoleh
subgrup di
.
Teorema 3. Misalkan ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Bukti.
Diketahui
. Diperhatikan bahwa
merupakan subgrup di
karena
merupakan subgrup terkecil di
yang memuat
.
Diketahui
merupakan subgrup di
. Dibuktikan bahwa
. Pertama, dibuktikan bahwa
. Diambil sebarang
. Untuk
diperoleh bahwa
karena
dan
. Untuk
diperoleh bahwa
karena
dan
. Jadi, untuk sebarang
berlaku
,dengan kata lain terbukti
.
Selanjutnya dibuktikan bahwa merupakan subgrup terkecil yang memuat
. Diambil sebarang
subgrup di
dengan
memuat
. Diambil sebarang
. Karena
, diperoleh bahwa
untuk suatu
dan
. Di lain pihak, karena
memuat
diperoleh bahwa
dan
. Karena
subgrup di
diperoleh
. Jadi, untuk sebarang
berlaku
, dengan kata lain maka terbukti
. Karena untuk sebarang
subgrup di
dengan
memuat
berlaku
, maka terbukti bahwa
merupakan subgrup terkecil yang memuat
. Dengan demikian terbukti bahwa
.