Dalam kehidupan sehari-hari, kita telah mengenal dan menggunakan berbagai operasi bilangan. Untuk lebih mudahnya, kita dapat mengambil satu contoh, yaitu operasi penjumlahan bilangan bulat, yang sering kita gunakan dalam menghitung banyaknya uang (rupiah) yang kita punyai. Apabila kita mempunyai satu lembar uang
dan satu lembar uang
, maka total uang yang kita punyai adalah
. Dalam perhitungan jumlahan tersebut, yang kita lakukan sebenarnya adalah mengoperasikan dua bilangan di dalam himpunan
dan selanjutnya kita mendapatkan hasil berupa bilangan yang termuat di dalam himpunan
. Pehitungan ini dikenal sebagai operasi penjumlahan bilangan bulat.
Perhatikan bahwa bentuk pengoperasian jumlahan dua bilangan bulat seperti yang dicontohkan di atas, secara matematis dapat kita lihat sebagai suatu fungsi dengan domain dan kodomain
. Fungsi tersebut dinotasikan dengan simbol
. Dengan demikian, secara ringkas, operasi bilangan bulat adalah suatu fungsi
Mungkin para pembaca kurang familiar dengan notasi di atas, sebab notasi fungsi yang sering kita jumpai menggunakan huruf
,
, dan lain sebagainya. Notasi
tersebut memberi makna suatu elemen di
yang merupakan hasil peta dari elemen
oleh fungsi
. Mengingat dalam pembicaraan ini yang dimaksud fungsi
adalah operasi penjumlahan bilangan bulat, notasi
juga dapat dinotasikan dengan notasi
. Jadi, dalam konteks pembicaraan ini,
dan
merupakan barang yang sama. Sebagai contoh,
.
Berdasarkan fenomena tersebut, yakni operasi penjumlahan bilangan bulat yang dapat dipandang sebagai fungsi
, kita lakukan suatu proses abstraksi sebagai berikut.
- Himpunan
diabstraksikan menjadi sebarang himpunan tak kosong
.
- Fungsi
diabstraksikan menjadi sebarang fungsi
Fungsi ini selanjutnya disebut operasi biner pada himpunan tak kosong
. Kata “biner” berasal dari kata binary atau
–ary, yang dalam konteks ini mempunyai makna pengoperasian dilakukan untuk setiap dua pasangan berurutan
di dalam
.
Contoh:
- Dari penjelasan di atas, jelas bahwa operasi penjumlahan bilangan bulat
merupakan operasi binear pada
.
- Operasi penjumlahan bilangan rasional
merupakan operasi biner pada
.
- Operasi penjumlahan bilangan real
merupakan operasi biner pada
.
- Operasi penjumlahan bilangan bulat
bukan operasi biner pada himpunan semua bilangan ganjil
, sebab
, yang berarti
bukanlah fungsi dari
ke
.
Kita perhatikan kembali himpunan tak kosong . Dari uraian penjelasan di atas, kita dapat membuat kesimpulan bahwa suatu pengaitan/relasi
dari
ke
disebut operasi biner jika
merupakan fungsi dari
ke
. Dengan demikian, untuk mengecek apakah suatu pengaitan
dari
ke
merupakan operasi biner atau bukan, cukup dicek kebenaran dua pernyataan berikut:
- (Ketertutupan Hasil Operasi) Untuk setiap
,
berada di dalam
.
- (Ketunggalan Hasil Operasi/Well-Defined)
Untuk setiap , apabila
maka berakibat
Pernyataan no.2 di atas memberikan pengertian bahwa hasil operasi tidak bergantung pada notasi/simbol elemen yang kita ambil untuk menyatakan elemen di himpunan
. Pernyataan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut:
Untuk setiap
, apabila
maka
Contoh:
- Diberikan himpunan
, dan didefinisikan operasi
dengan definisi
untuk setiap
. Akan dicek apakah
merupakan operasi biner pada
.
Pertama, dicek apakah untuk setiap berlaku
. Diambil sebarang
, hal ini berarti
dan
. Jelas bahwa
, sehingga tinggal ditunjukkan bahwa
. Andaikan
, berarti
. Dengan menjumlahkan kedua ruas persamaan terakhir tersebut dengan 1, diperoleh
. Hal tersebut berakibat
atau
, yang kontradiksi dengan fakta bahwa
. Dengan demikian pengandaian salah, yang benar adalah
. Jadi, terbukti bahwa
.
Kedua, dicek apakah operasi well-defined. Diambil sebarang
dengan
dan
. Perhatikan bahwa
Dengan demikian, operasi well-defined.
Kesimpulan: merupakan operasi biner pada
.