Dalam artikel ini kita akan membahas tentang definisi dari salah satu jenis struktur aljabar, yakni grup. Dalam konteks ini, “grup” hanyalah suatu nama dari sistem yang akan kita pelajari. Seperti yang telah dipaparkan dalam judul artikel ini, grup merupakan suatu bentuk abstraksi dari suatu sistem tertentu.
Sekarang kita perhatikan himpunan semua bilangan bulat
dan operasi penjumlahan bi\-langan bulat . Mudah kita pahami bahwa
terhadap operasi
memenuhi kaidah-kaidah:
(sifat ketertutupan operasi)
(sifat asosiatif)
(adanya suatu elemen yang istimewa di, yaitu
)
(setiap elemen dimempunyai pasangan di
, yang apabila pasangan tersebut dioperasikan menghasilkan
)
Berdasarkan hal tersebut, kita dapat mengatakan bahwa himpunan terhadap operasi penjumlahan
membentuk suatu sistem.
PROSES ABSTRAKSI DAN PENDEFINISIAN STRUKTUR GRUP
Apakah hanya himpunan terhadap operasi penjumlahan
saja yang memenuhi sifat/kaidah (i) sampai (iv) seperti di atas? Tentu saja tidak demikian, sebagai contoh:
terhadap operasi
,
terhadap operasi
, himpunan semua matriks
, yaitu
, terhadap operasi penjumlahan matriks
, dan lain sebagainya. Dalam bermatematika, biasanya kita ingin melihat suatu jenis sistem secara luas. Oleh karena itu, untuk melihat dan mempelajari sistem seperti di atas (
terhadap operasi penjumlahan
) secara luas, kita lakukan proses abstraksi dari sistem tersebut.
Definisi. Diberikan himpunan tak kosong , dan pada
didefinisikan suatu operasi biner
. Himpunan
disebut grup terhadap operasi
jika memenuhi sifat:
(sifat tertutup)1
(sifat asosiatif)
(eksistensi elemen netral)
.
(eksistensi elemen invers untuk setiap elemen di)
Grup terhadap operasi biner
secara ringkas dinotasikan dengan
. Jika operasi biner
pada grup
bersifat komutatif, yakni memenuhi
, maka
disebut grup abelian atau grup komutatif. Untuk efisiensi penulisan, penulisan
secara singkat dapat ditulis
apabila notasi singkat ini tidak menimbulkan kerancuan.
Contoh:
,
,
, dan
masing-masing merupakan grup (komutatif).
,
, dan
masing-masing merupakan grup (komutatif).
merupakan grup terhadap operasi
dengan definisi
untuk setiap
.
Petunjuk Pembuktian:
- Harus dibuktikan operasi
merupakan operasi biner (tertutup dan well-defined). Untuk membuktikan sifat tertutup, harus ditunjukkan bahwa
dan
. Untuk membuktikan sifat well-defined, , diambil sebarang
dengan
dan
, harus ditunjukkan
.
- Ditunjukkan operasi * bersifat asosiatif.
- Dicari elemen netralnya, yakni dengan langkah pertama memisalkan
adalah elemen yang bersifat
, dan selanjutnya diuraikan sehingga akan diperoleh bentuk dari elemen
tersebut. Perlu dicek juga apakah
yang diperoleh tersebut memenuhi sifat
.
- Diambil sebarang elemen
. Dicari invers dari elemen
, yakni dengan langkah pertama memisalkan
adalah elemen yang bersifat
, dan selanjutnya diuraikan sehingga diperoleh bentuk dari elemen
tersebut. Perlu dicek juga apakah
yang diperoleh tersebut memenuhi sifat
.
- Harus dibuktikan operasi
- Himpunan semua matriks berukuran
atas
, dinotasikan
, merupakan grup (komutatif) terhadap operasi penjumlahan matriks
. Secara umum,
merupakan grup (komutatif).
- Himpunan
merupakan grup (tidak komutatif) terhadap operasi perkalian matriks
. Secara umum,
merupakan grup (tidak komutatif) terhadap operasi perkalian matriks.
- Himpunan
merupakan grup (tidak komutatif) terhadap operasi perkalian matriks
.
- Himpunan
merupakan grup (komutatif) terhadap operasi
dengan definisi
untuk setiap
.
- Misalkan
dan
keduanya adalah grup. Himpunan
merupakan grup terhadap operasi
dengan definisi
untuk setiap
.
- Misalkan
adalah sebarang himpunan tak kosong, dan
adalah koleksi semua himpunan bagian dari
. Didefinisikan operasi biner
pada
, yaitu
untuk setiap
. Dapat dibuktikan bahwa
terhadap operasi
merupakan grup komutatif.
- Himpunan
merupakan grup terhadap operasi biner yang didefinisikan pada Tabel Cayley berikut:
1Pada beberapa referensi/buku, ketika operasi * sudah jelas dikatakan merupakan operasi biner, aksioma ketertutupan ini kadang tidak dituliskan.