Definisi Grup: Suatu Bentuk Abstraksi Dari Suatu Sistem Tertentu

Dalam artikel ini kita akan membahas tentang definisi dari salah satu jenis struktur aljabar, yakni grup. Dalam konteks ini, “grup” hanyalah suatu nama dari sistem yang akan kita pelajari. Seperti yang telah dipaparkan dalam judul artikel ini, grup merupakan suatu bentuk abstraksi dari suatu sistem tertentu.

Sekarang kita perhatikan himpunan semua bilangan bulat

$\Z=\{\cdots, -3,-2.-1,0,1,2,3\cdots \}$

dan operasi penjumlahan bi\-langan bulat $+$ . Mudah kita pahami bahwa $\Z$ terhadap operasi $+$ memenuhi kaidah-kaidah:

$(\forall a,b\in \Z)\ a+b\in \Z$
(sifat ketertutupan operasi $+$ )
$(\forall a,b,c\in \Z)\ (a+b)+c=a+(b+c)$
(sifat asosiatif)
$(\exists 0\in \Z)(\forall a\in \Z)\ 0+a=a=a+0$
(adanya suatu elemen yang istimewa di $\Z$ , yaitu $0$ )
$(\forall a\in \Z)(\exists b\in \Z)\ a+b=0=b+a$
(setiap elemen di $\Z$ mempunyai pasangan di $\Z$ , yang apabila pasangan tersebut dioperasikan menghasilkan $0$ )

Berdasarkan hal tersebut, kita dapat mengatakan bahwa himpunan $\Z$ terhadap operasi penjumlahan $+$ membentuk suatu sistem.

PROSES ABSTRAKSI DAN PENDEFINISIAN STRUKTUR GRUP

Apakah hanya himpunan $\Z$ terhadap operasi penjumlahan $+$ saja yang memenuhi sifat/kaidah (i) sampai (iv) seperti di atas? Tentu saja tidak demikian, sebagai contoh: $\Q$ terhadap operasi $+$ , $\R$ terhadap operasi $+$ , himpunan semua matriks $2\times 2$ , yaitu $M_{2\times 2}(\R)$ , terhadap operasi penjumlahan matriks $+$ , dan lain sebagainya. Dalam bermatematika, biasanya kita ingin melihat suatu jenis sistem secara luas. Oleh karena itu, untuk melihat dan mempelajari sistem seperti di atas ( $\Z$ terhadap operasi penjumlahan $+$ ) secara luas, kita lakukan proses abstraksi dari sistem tersebut.

$\Z\ \ \xrightarrow{\text{diabstraksikan menjadi}}\ \ \text{sebarang himpunan tak kosong }G$

$+\ \ \xrightarrow{\text{diabstraksikan menjadi}}\ \ \text{sebarang operasi biner }*\text{ pada }G$

Definisi. Diberikan himpunan tak kosong $G$ , dan pada $G$ didefinisikan suatu operasi biner $*$ . Himpunan $G$ disebut grup terhadap operasi $*$ jika memenuhi sifat:

$(\forall a,b\in G)\ a*b\in G$
(sifat tertutup)¹
$(\forall a,b,c\in G)\ (a*b)*c=a*(b*c)$
(sifat asosiatif)
$(\exists e_G\in G)(\forall a\in G)\ e_G*a=a = a*e_G$
(eksistensi elemen netral $e_G$ )
$(\forall a\in G)(\exists b\in G)\ a*b=e_G = b*a$ .
(eksistensi elemen invers untuk setiap elemen di $G$ )

Grup $G$ terhadap operasi biner $*$ secara ringkas dinotasikan dengan $(G,*)$ . Jika operasi biner $*$ pada grup $G$ bersifat komutatif, yakni memenuhi $(\forall a,b\in G)\ a*b=b*a$ , maka $(G,*)$ disebut grup abelian atau grup komutatif. Untuk efisiensi penulisan, penulisan $a*b$ secara singkat dapat ditulis $ab$ apabila notasi singkat ini tidak menimbulkan kerancuan.

Contoh:

$(\Z,+)$ , $(\Q,+)$ , $(\R,+)$ , dan $(\C,+)$ masing-masing merupakan grup (komutatif).
$(\Q\backslash\{0\},\cdot)$ , $(\R\backslash\{0\},\cdot)$ , dan $(\C\backslash\{0\},\cdot)$ masing-masing merupakan grup (komutatif).
merupakan grup terhadap operasi dengan definisi untuk setiap .
Petunjuk Pembuktian:
- Harus dibuktikan operasi $*$ merupakan operasi biner (tertutup dan well-defined). Untuk membuktikan sifat tertutup, harus ditunjukkan bahwa $a*b\in\Q$ dan $a*b\neq -1$ . Untuk membuktikan sifat well-defined, , diambil sebarang $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in G$ dengan $a_{1}=a_{2}$ dan $b_{1}=b_{2}$ , harus ditunjukkan $a_{1}*b_{1}=a_{2}*b_{2}$ .
- Ditunjukkan operasi * bersifat asosiatif.
- Dicari elemen netralnya, yakni dengan langkah pertama memisalkan $e\in G$ adalah elemen yang bersifat $e*g=g$ , dan selanjutnya diuraikan sehingga akan diperoleh bentuk dari elemen $e$ tersebut. Perlu dicek juga apakah $e$ yang diperoleh tersebut memenuhi sifat $g*e=g$ .
- Diambil sebarang elemen $g\in G$ . Dicari invers dari elemen $g$ , yakni dengan langkah pertama memisalkan $h\in H$ adalah elemen yang bersifat $g*h=e$ , dan selanjutnya diuraikan sehingga diperoleh bentuk dari elemen $h$ tersebut. Perlu dicek juga apakah $h$ yang diperoleh tersebut memenuhi sifat $h*g=e$ .
Himpunan semua matriks berukuran $2\times 2$ atas $R$ , dinotasikan $M_{2\times 2}(\R)$ , merupakan grup (komutatif) terhadap operasi penjumlahan matriks $+$ . Secara umum, $(M_{n\times n}(\R),+)$ merupakan grup (komutatif).
Himpunan $G=\{A\in M_{2\times 2}(R)\mid \det(A)=1\}$ merupakan grup (tidak komutatif) terhadap operasi perkalian matriks $\cdot$ . Secara umum,
$G'=\{A\in M_{n\times n}(R)\mid \det(A)=1\}$

merupakan grup (tidak komutatif) terhadap operasi perkalian matriks.
Himpunan $G=\{A\in M_{2\times 2}(R)\mid \det(A)\neq 0\}$ merupakan grup (tidak komutatif) terhadap operasi perkalian matriks $\cdot$ .
Himpunan $\Z\times\Q=\{(x,y)\mid x\in\Z,y\in\Q\}$ merupakan grup (komutatif) terhadap operasi $*$ dengan definisi
$(a,b)*(x,y)=(a+x,b+y)$

untuk setiap $(a,b),(x,y)\in\Q\times\Z$ .
Misalkan $(G,*_{G})$ dan $(H,*_{H})$ keduanya adalah grup. Himpunan
$G\times H=\{(x,y)\mid x\in G,y\in H\}$

merupakan grup terhadap operasi $*$ dengan definisi

$(a,b)*(x,y)=(a*_{G}x,b*_{H}y)$

untuk setiap $(a,b),(x,y)\in G\times H$ .
Misalkan $X$ adalah sebarang himpunan tak kosong, dan $\mathcal{P}(X)$ adalah koleksi semua himpunan bagian dari $X$ . Didefinisikan operasi biner $\Delta$ pada $\mathcal{P}(X)$ , yaitu $A\Delta B\overset{def.}{=}(A\backslash B)\cup (B\backslash A)$ untuk setiap $A,B\in \mathcal{P}(X)$ . Dapat dibuktikan bahwa $\mathcal{P}(X)$ terhadap operasi $\Delta$ merupakan grup komutatif.
Himpunan $T=\{a,b,c,d\}$ merupakan grup terhadap operasi biner yang didefinisikan pada Tabel Cayley berikut:

¹Pada beberapa referensi/buku, ketika operasi * sudah jelas dikatakan merupakan operasi biner, aksioma ketertutupan ini kadang tidak dituliskan.