Pada artikel sebelumnya (link Definisi Grup), “grup” merupakan merupakan suatu struktur yang merupakan suatu bentuk abstraksi dari kejadian yang kita temui pada himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan
. Secara ringkas, grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi suatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma tertentu. Ada banyak contoh grup yang dapat kita temukan dalam kehidupan sehari-hari, misal: grup
,
,
,
, dan lain sebagainya. Namun kenyataannya ada banyak himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma tertentu. Sebagai contoh, kita perhatikan himpunan
dilengkapi operasi penjumlahan
dan operasi perkalian
.
Telah kita ketahui bahwa terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
, himpunan bilangan bulat
bersifat:
- terhadap penjumlahan
: (
,+) merupakan grup abelian
- terhadap perkalian
}:
bersifat assosiatif
- terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian):
bersifat distributif kiri dan distributif kanan
.
Dari fenomena sifat himpunan terhadap penjumlahan
dan perkalian yang telah dijelaskan di atas, didefiniskan struktur abstrak yang disebut ring sebagai berikut.
Definisi 1. Misalkan ![]() ![]() operasi biner yang dinotasikan dengan ![]() ![]() disebut operasi penjumlahan dan perkalian. Himpunan ![]() ![]() ![]() jika:
|
Agar lebih efisien dalam penulisan, ring terhadap operasi penjumlahan
dan perkalian
dinotasikan (
). Nampak jelas bahwa definisi ring merupakan abstraksi dari suatu objek beserta sifat-sifatnya terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, yakni himpunan bilangan bulat
terhadap penjumlahan dan perkalian. Dengan demikian,
merupakan contoh ring terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian, dan ditulis ().
Berikut contoh-contoh yang lain:
- Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional
, himpunan bilangan real
, dan himpunan bilangan kompleks
juga merupakan ring terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan yang sudah kita kenal sehari-hari. Oleh karena itu, dapat dituliskan dengan notasiRing ( ),
Ring ( ),
Ring ( ).
Namun himpunan bilangan asli
bukan merupakan ring sebab terhadap penjumlahan bukan merupakan grup.
- Pandang himpunan matriks bujursangkar berukuran
dengan komponen-komponen bilangan real, yakni
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian matriks, dapat ditunjukkan bahwa
merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.Selanjutnya untuk setiap bilangan asli
, dapat ditunjukkan bahwa
merupakan ring terhadap operasi terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Proses memperluas darike
merupakan salah contoh proses generalisasi.
- Pandang himpunan semua fungsi dari
ke
sebagai berikut
Dari Kalkulus, kita dapat mendefinisikan operasi penjumlahan fungsi dan juga perkalian fungsi sebagai berikut. Untuk sebarang
didefi\-nisikan
dan
sebagai berikut:dan
untuk setiap
.
Dengan menggunakan sifat-sifat dalam kalkulus, dapat ditunjukkan bahwamerupakan ring.
- Diberikan himpunan kuasa dari
, yaitu himpunan semua himpunan bagian
, yang dinotasikan
Dapat ditunjukkan bahwa
merupakan ring, dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan sebagai berikut:
dan