Jika diberikan ring dan himpunan
, maka
bisa merupakan ideal di
atau
bukan merupakan ideal di
. Jika
bukan merupakan ideal di
, maka selalu dapat dibentuk ideal yang memuat
, yakni paling tidak ring
itu sendiri. Namun ideal
merupakan ideal terbesar dan ideal yang trivial. Oleh karena itu, muncul pertanyaan, bagaimana mencari ideal terkecil yang memuat
. Berikut diberikan langkah-langkah mencari ideal terkecil yang memuat
.
- Dikumpulkan semua ideal yang memuat
, yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan
, yaitu
- Dibentuk irisan dari semua ideal di dalam
, yaitu
Berdasarkan sifat irisan ideal, diperoleh bahwa
merupakan ideal di
. Karena
untuk setiap
, diperoleh
merupakan ideal terkecil yang memuat
.
Perhatikan bahwa pada kejadian khusus ketika , ideal
merupakan ideal yang memuat
. Oleh karena itu,
sehingga diperoleh ideal terkecil yang memuat
adalah
Selanjutnya, muncul pertanyaan bagaimanakah bentuk elemen-elemen di dalam , dengan
. Misalkan
adalah himpunan bagian tak kosong dari
.
- Jelas elemen-elemen dari
berada di
, sebab
. Dengan demikian, diperoleh
, untuk setiap
. Mengingat
ideal di
, untuk setiap
dan
berlaku
. Lebih dari itu, untuk setiap
,
,
,
, berlaku
- Mengingat
ideal di
, untuk setiap
dan
diperoleh
juga berada di
. Selanjutnya, mengingat
ideal di
, maka untuk setiap
diperoleh
\item Mengingat
ideal di
, untuk setiap
,
, dan
,
,
- Dari (1) dan (3), serta mengingat
ideal di
, diperoleh
Dikumpulkan semua bentuk dengan
dan
, yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan
sebagai berikut:
maka akan diperoleh suatu teorema sebagai berikut.
Teorema 1. Diberikan sebarang ring ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Bukti. (Sebagai latihan)
- Harus dibuktikan
merupakan ideal di
.
- Harus dibuktikan
.
- Langkah terakhir harus dibuktikan
merupakan ideal terkecil di
yang memuat
.
Definisi 2. Diberikan ring ![]() ![]() ![]() ![]() |
Untuk sebarang ring dan himpunan bagian tak kosong
, jelas bahwa
tetapi belum tentu berlaku
. Jika
, maka munculah definisi ring yang dibangun oleh suatu himpunan sebagai berikut.
Definisi 3. Diberikan ring ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Khusus untuk ring dengan elemen satuan (katakan
), jika
maka untuk setiap
dan
, diperoleh:
- Jika
, maka
.
- Jika
, maka
untuk suatu
.
- Jika
, maka
untuk suatu
.
Akibatnya, ideal terkecil di yang memuat
adalah
(1)
Khusus untuk ring yang komutatif, ideal terkecil yang memuat
adalah
(2)
(Silahkan dibuktikan sebagai latihan)
Kasus yang lebih khusus lagi, jika adalah ring komutatif dengan elemen satuan maka berdasarkan (1) dan (2) diperoleh
Contoh 4. Diberikan ring bilangan bulat dan
. Ideal yang dibangun oleh
adalah
Diberikan sebarang ring dan
himpunan bagian tak kosong dari
. Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa ideal kiri terkecil yang memuat
yang dinotasikan dengan
tidak lain akan berbentuk
Ideal kanan terkecil yang memuat yang dinotasikan dengan
tidak lain akan berbentuk
Tentu saja jika merupakan ring komutatif setiap ideal kiri akan merupakan ideal kanan, sehingga
.
Diberikan sebarang ring . Jika
hanya terdiri dari satu elemen, misalkan
, maka
akan sama dengan
dan selanjutnya disebut ideal yang dibangun oleh . Jika
maka kan diperoleh ideal yang dibangun oleh
tidak lain adalah ideal
itu sendiri, sedangkan jika
adalah ring yang memuat elemen satuan
maka ideal yang dibangun oleh
tidak lain adalah
sendiri. Jika
merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, maka
dan selanjutnya dinotasikan dengan .
Selanjutnya, jika diberikan ring serta ideal
dan
di
maka \mbox{
} belum tentu membentuk ideal di
. Sebagai contoh pada ring bilangan bulat
, himpunan
dan
masing-masing merupakan ideal, namun
tidak merupakan ideal, sebab
tetapi
.
Mengingat merupakan himpunan bagian tak kosong dari
, dapat dibentuk ideal terkecil di
yang memuat
, yaitu
.
Teorema 5. Diberikan sebarang ring ![]() ![]() ![]() ![]() |