Pada teori grup, telah kita ketahui bahwa dari suatu grup dapat dibentuk grup baru dengan memanfaatkan suatu subgrup normal. Grup yang terbentuk tersebut dinamakan grup faktor. (Baca: Koset dan Subgrup Normal dan Grup Faktor)
Sejalan dengan ide pembentukan grup faktor tersebut, dapat dibentuk ring faktor. Dalam proses pembentukan ring faktor ini, memotivasi munculnya definisi ideal dari suatu ring.
Jika adalah subring dalam ring
, maka
merupakan subgrup dalam grup abelian
, sehingga
merupakan subgrup normal. Dari teori grup, terbentuklah grup faktor
yang juga merupakan grup abelian, dengan
Selanjutnya, muncul pertanyaan: apakah dapat dibentuk operasi perkalian
sedemikian sehingga juga merupakan ring?
Diambil sebarang , sehingga diperoleh
. Dengan demikian,
, dan dari kenyataan ini, didefinisikan:
untuk setiap .
Sebelum menunjukkan aksioma-aksioma ring dipenuhi atau tidak pada terhadap operasi
dan
, terlebih dahulu harus dicek apakah operasi
well-defined atau tidak.
Diambil sebarang de\-ngan
, dan
. Akan dicek apakah
yang artinya .
Dengan menggunakan makna dari kesamaan koset yang sudah dibahas dalam teori grup, permasalahan tersebut ekuivalen dengan mengecek apakah jika dan
akan diperoleh
.
Dari dan
, diperoleh
dan
untuk suatu
. Akan diselidiki apakah
untuk suatu
.
(1)
Mengingat merupakan subring maka
, namun
dan
belum tentu berada dalam
, sehingga secara keseluruhan
juga belum tentu berada dalam
sebab
dan
adalah elemen-elemen dalam
yang belum tentu berada dalam
. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa operasi
pada
belum tentu well-defined.
Berkaitan dengan hal tersebut, didefinisikan pengertian ideal sebagai berikut:
Definisi 1. Misalkan ![]() ![]() ![]() ![]()
|
Contoh 2.
- Subset
merupakan ideal di ring
. Secara umum, untuk setiap
,
merupakan ideal di ring
.
- Subset
merupakan ideal di ring
.
Setiap ring selalu mempunyai ideal, yaitu paling tidak mempunyai ideal
dan
. Kedua ideal tersebut dinamakan ideal trivial.
Mengingat pada ring tidak disyaratkan bersifat komutatif terhadap perkalian, untuk sebarang himpunan bagian tak kosong
dan untuk sebarang
,
, jika
berada di dalam
belum tentu
berada dalam
, begitu juga sebaliknya. Mengingat hal tersebut, dapat didefinisikanlah pengertian ideal kiri dan ideal kanan sebagai berikut:
Definisi 3. Misalkan ![]() ![]()
|
Contoh 4. Diberikan ring matriks . Misalkan
Ideal merupakan ideal kiri di
dan
merupakan ideal kanan di
.
Berdasarkan Definisi 1 dan Definisi 2, mudah dipahami bahwa himpunan bagian tak kosong dari ring
disebut ideal di
jika
merupakan ideal kiri sekaligus ideal kanan di
.