Misalkan $A$ dan $B$ adalah dua himpunan tak kosong. Suatu relasi $\mathcal{R}$ dari $A$ ke $B$ merupakan suatu himpunan bagian dari $A\times B$. Selanjutnya jika $(a,b)\in \mathcal{R}$, kita katakan bahwa $a$ berada dalam relasi $\mathcal{R}$ dengan $b$, dan cukup dituliskan dengan $a\mathcal{R}b$.
Sebagai contoh, jika $A$ merupakan himpunan semua bilangan asli dan $B$ adalah himpunan semua bilangan bulat. Sudah kita ketahui bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ pasti mempunyai kelipatan. Dari sini, jika untuk setiap $n\in \mathbb{N}$ dan $m\mathbb{Z}$ didefinisikan $n\mathcal{R}m$ jika $m=kn$ untuk suatu bilangan bulat $k$ maka diperoleh $$\mathcal{R}=\{(n,m)\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{Z}\mid m=kn~\text{untuk suatu bilangan bulat}~k\}.$$
Dalam relasi ini, $(2,4)$ dan $(2,-4)$ berada dalam $\mathcal{R}$ tetapi $(3,5)$ tidak berada dalam $\mathcal{R}$.
Sebagai contoh selanjutnya, diperhatikan himpunan semua garis lurus pada bidang datar, yakni $G=\{g\mid g\equiv y=mx+c~\text{atau}~g\equiv x=c\}$. Pada $G$ dapat didefinisikan relasi sejajar $(\parallel)$ dan tegak lurus $(\perp)$. Sebut relasi $\mathcal{R}_{1}$ dan $\mathcal{R}_{2}$ pada $G$ didefinisikan sebagai berikut untuk sebarang garis lurus $f$ dan $g$ di $G$, $f\mathcal{R}_{1}g$ jika dan hanya jika $f\perp g$ dan $f\mathcal{R}_{2}g$ jika dan hanya jika $f\parallel g$. Jika diambil $f\equiv y=x+2$, $g\equiv y=-x+3$ dan $h\equiv y=x-3$, maka diperoleh $f\mathcal{R}_{1}g$ yang artinya $f\perp g$ dan $f\mathcal{R}_{2}h$ yang artinya $f\parallel h$.
Dari relasi $\perp$ dan $\parallel$ di atas, dapat diperoleh beberapa perbedaan, yakni:
- Untuk setiap $g\in G$ berlaku $g\parallel g$, tetapi tidak berlaku $g\perp g$.
- Untuk setiap $f,g\in G$, jika $f\parallel g$ maka berlaku $g\parallel f$. Sifat ini juga berlaku pada relasi $\perp$, yakni untuk setiap $f,g\in G$, jika $f\perp g$ maka berlaku $g\perp f$.
- Untuk setiap $f,g,h\in G$, jika $f\parallel g$ dan $g\parallel h$ maka berlaku $f\parallel h$. Sifat ini tidak berlaku pada relasi $\perp$, yakni jika $f\perp g$ dan $g\perp h$, maka $f$ tidak akan tegak lurus dengan $h$.
Dari tiga fenomena di atas, berikut didefinisikan relasi refleksif, simetris, dan transitif, serta relasi yang memenuhi ketiga jenis relasi tersebut.
Definisi 1. Diberikan relasi $\mathcal{R}$ pada himpunan $A$.
|
Dari urian di atas, dapat diperoleh bahwa relasi $\parallel$ merupakan relasi ekuivalensi pada $G$ tetapi relasi $\perp$ bukan merupakan relasi ekuivalensi pada $G$.
Supaya lebih memahami mengenai relasi ekuivalensi, diperhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2. Diberikan relasi $\mathcal{R}$ pada himpunan semua bilangan bulat $\mathbb{Z}$ yang didefinisikan sebagai berikut :
$$x\mathcal{R}y\Longleftrightarrow x^{2}+2y=y^{2}+2x.$$
untuk setiap $x,y\in \mathbb{Z}$.
Bukti.
- Dibuktikan $\mathcal{R}$ relasi refleksif. Untuk sebarang $x\in \mathbb{Z}$ berlaku $x\mathcal{R}x$ sebab $x^{2}+2x=x^{2}+2x$. Jadi $\mathcal{R}$ merupakan relasi refleksif.
- Dibuktikan $\mathcal{R}$ relasi simetris. Diambil sebarang $x,y\in \mathbb{Z}$ dengan $x\mathcal{R}y$, artinya $x^{2}+2y=y^{2}+2x$. Diperhatikan bahwa $y^{2}+2x=x^{2}+2y$, sehingga $y\mathcal{R}x$. Jadi $\mathcal{R}$ merupakan relasi simetris.
- Dibuktikan $\mathcal{R}$ relasi transitif. Diambil sebrang $x,y,z\in \mathbb{Z}$ dengan $x\mathcal{R}y$ dan $y\mathcal{R}z$. Dari $x\mathcal{R}y$ diperoleh $x^{2}+2y=y^{2}+2x\iff x^{2}-2x=y^{2}-2y$. Di lain pihak, dari $y\mathcal{R}z$ diperoleh $y^{2}+2z=z^{2}+2y\iff y^{2}-2y=z^{2}-2z$. Dengan demikian diperoleh $x^{2}-2x=y^{2}-2y=z^{2}-2z$, dengan kata lain $x^{2}-2x=z^{2}-2z\iff x^{2}+2z=z^{2}+2x$. Diperoleh $x\mathcal{R} z$, jadi terbukti $\mathcal{R}$ relasi transitif.
Dari (1), (2), dan (3), diperoleh bahwa $\mathcal{R}$ merupakan relasi ekuivalensi.
$blacksquare$