Misalkan dan
adalah dua himpunan tak kosong. Suatu relasi
dari
ke
merupakan suatu himpunan bagian dari
. Selanjutnya jika
, kita katakan bahwa
berada dalam relasi
dengan
, dan cukup dituliskan dengan
.
Sebagai contoh, jika merupakan himpunan semua bilangan asli dan
adalah himpunan semua bilangan bulat. Sudah kita ketahui bahwa untuk setiap bilangan asli
pasti mempunyai kelipatan. Dari sini, jika untuk setiap
dan
didefinisikan
jika
untuk suatu bilangan bulat
maka diperoleh
Dalam relasi ini, dan
berada dalam
tetapi
tidak berada dalam
.
Sebagai contoh selanjutnya, diperhatikan himpunan semua garis lurus pada bidang datar, yakni . Pada
dapat didefinisikan relasi sejajar
dan tegak lurus
. Sebut relasi
dan
pada
didefinisikan sebagai berikut untuk sebarang garis lurus
dan
di
,
jika dan hanya jika
dan
jika dan hanya jika
. Jika diambil
,
dan
, maka diperoleh
yang artinya
dan
yang artinya
.
Dari relasi dan
di atas, dapat diperoleh beberapa perbedaan, yakni:
- Untuk setiap
berlaku
, tetapi tidak berlaku
.
- Untuk setiap
, jika
maka berlaku
. Sifat ini juga berlaku pada relasi
, yakni untuk setiap
, jika
maka berlaku
.
- Untuk setiap
, jika
dan
maka berlaku
. Sifat ini tidak berlaku pada relasi
, yakni jika
dan
, maka
tidak akan tegak lurus dengan
.
Dari tiga fenomena di atas, berikut didefinisikan relasi refleksif, simetris, dan transitif, serta relasi yang memenuhi ketiga jenis relasi tersebut.
Definisi 1. Diberikan relasi ![]() ![]()
|
Dari urian di atas, dapat diperoleh bahwa relasi merupakan relasi ekuivalensi pada
tetapi relasi
bukan merupakan relasi ekuivalensi pada
.
Supaya lebih memahami mengenai relasi ekuivalensi, diperhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2. Diberikan relasi pada himpunan semua bilangan bulat
yang didefinisikan sebagai berikut :
untuk setiap .
Bukti.
- Dibuktikan
relasi refleksif. Untuk sebarang
berlaku
sebab
. Jadi
merupakan relasi refleksif.
- Dibuktikan
relasi simetris. Diambil sebarang
dengan
, artinya
. Diperhatikan bahwa
, sehingga
. Jadi
merupakan relasi simetris.
- Dibuktikan
relasi transitif. Diambil sebrang
dengan
dan
. Dari
diperoleh
. Di lain pihak, dari
diperoleh
. Dengan demikian diperoleh
, dengan kata lain
. Diperoleh
, jadi terbukti
relasi transitif.
Dari (1), (2), dan (3), diperoleh bahwa merupakan relasi ekuivalensi.