Pembentukan Ring Faktor dari Suatu ideal

Dari uraian pada latar belakang munculnya pengertian ideal, dapat disimpulkan bahwa jika I merupakan ideal maka dapat disimpulkan bahwa operasi \cdot pada R/S merupakan operasi well-defined. Dengan menggunakan aksioma-aksioma ring, dapat ditunjukkan bahwa R/I merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian koset-koset sebagaimana dinyatakan dalam sifat sebagai berikut.

Teorema 1. Jika I merupakan ideal dalam ring R maka R/I merupakan ring terhadap operasi:

  1. penjumlahan +, dengan definisi

        \[\overline{r_1}+\overline{r_2}=\overline{r_1+r_2},\]

    untuk setiap \overline{r_1},\overline{r_1}\in R/I; dan

  2. perkalian \cdot, dengan definisi

        \[\overline{r_1}\cdot\overline{r_2}=\overline{r_1\cdot r_2},\]

    untuk setiap \overline{r_1},\overline{r_1}\in R/I.

Bukti. Dari teori grup, jelas bahwa \big(R/I,+\big) merupakan grup komutatif. Dengan demikian, tinggal ditunjukkan bahwa operasi perkalian \cdot bersifat asosiatif, distributif kiri, dan distributif kanan. Diambil sebarang \overline{r_1}, \overline{r_2}, \overline{r_3} \in R/I. Hal tersebut mempunyai arti bahwa r_1, r_2, r_3 \in R. Oleh karena itu, diperoleh:

  1. Sifat asosiatif:

        \begin{equation*} \begin{split} \overline{r_1}\cdot( \overline{r_2}\cdot\overline{r_3})& = \overline{r_1}\cdot \overline{r_2r_3}\\ & = \overline{r_1(r_2 r_3)}=\overline{(r_1 r_2) r_3}\\ & = \overline{r_1r_2}\cdot \overline{r_3}=(\overline{r_1}\cdot\overline{r_2})\cdot\overline{r_3}. \end{split} \end{equation*}

    Jadi, terbukti \cdot bersifat asosiatif.

  2. Sifat distributif kiri dan kanan:

        \begin{equation*} \begin{split} \overline{r_1}\cdot( \overline{r_2}+\overline{r_3})& = \overline{r_1}\cdot( \overline{r_2+r_3})= \overline{r_1(r_2+r_3)}\\ & = \overline{r_1 r_2+ r_1 r_3}=\overline{r_1 r_2}+\overline{r_1 r_3}\\ & = \overline{r_1}\cdot \overline{r_2}+\overline{r_1}\cdot \overline{r_3}. \end{split} \end{equation*}

    Jadi, terbukti bahwa \cdot bersifat distributif kiri terhadap +. Secara analog dapat dibuktikan bahwa \cdot bersifat distributif kanan terhadap +.

\blacksquare

Ring \big(R/I,+,\cdot\big) selanjutnya disebut {\bf ring faktor}\index{ring faktor} yang dibentuk dari ideal I dalam ring R. Dengan mudah akan dapat ditunjukkan bahwa jika R merupakan ring komutatif maka ring faktor \big(R/I,+,\cdot\big) juga bersifat komutatif dan jika R merupakan ring dengan elemen satuan 1_{R} maka ring faktor \big(R/I,+,\cdot\big) juga mempunyai elemen satuan \overline{1_{R}}.

Contoh 2.

  1. Misal diambil ring bilangan bulat \mathbb{Z} dan ideal 2\mathbb{Z} di ring \mathbb{Z}. Mudah dipahami bahwa hanya ada dua koset dari ideal 2\mathbb{Z}, yaitu koset 0+2\Z dan 1+2\Z. Dengan demikian, diperoleh ring faktor

        \[\Z/2\Z=\{0+2\Z, 1+2\Z\}=\{\overline{0},\overline{1}\}\]

    dengan

        \begin{equation*} \begin{split} (0+2\Z)+(0+2\Z) &= (0+0)+2\Z = 0+2\Z\\ (1+2\Z)+(1+2\Z) &= (1+1)+2\Z = 0+2\Z\\ (0+2\Z)+(1+2\Z) &= (0+1)+2\Z = 1+2\Z \end{split} \end{equation*}

        \begin{equation*} \begin{split} (0+2\Z)\cdot(0+2\Z) &= (0\cdot0)+2\Z = 0+2\Z\\ (1+2\Z)\cdot(1+2\Z) &= (1\cdot1)+2\Z = 1+2\Z\\ (0+2\Z)\cdot(1+2\Z) &= (0\cdot1)+2\Z = 0+2\Z \end{split} \end{equation*}

  2. Telah kita ketahui bahwa secara umum untuk setiap k\in\Z^{\geq 0}, k\Z merupakan ideal di ring \Z. Dengan demikian, dapat dibentuk ring faktor

        \begin{align*} \Z/k\Z &= \{0+k\Z, 1+k\Z,\cdots, (k-1)+k\Z\}\\ &= \{\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{k-1}\}. \end{align*}