Ideal Terkecil yang Memuat Suatu Himpunan

Jika diberikan ring $R$ dan himpunan $X\subseteq R$ , maka $X$ bisa merupakan ideal di $R$ atau $X$ bukan merupakan ideal di $R$ . Jika $X$ bukan merupakan ideal di $R$ , maka selalu dapat dibentuk ideal yang memuat $X$ , yakni paling tidak ring $R$ itu sendiri. Namun ideal $R$ merupakan ideal terbesar dan ideal yang trivial. Oleh karena itu, muncul pertanyaan, bagaimana mencari ideal terkecil yang memuat $X$ . Berikut diberikan langkah-langkah mencari ideal terkecil yang memuat $X$ .

Dikumpulkan semua ideal yang memuat $X$ , yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan $\mathfrak{I}_{X}$ , yaitu
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{I}_{X}&=&\{I\mid I\textrm{ adalah ideal di }R\text{ dan }X\subseteq I\}. \end{eqnarray*}$
Dibentuk irisan dari semua ideal di dalam $\mathfrak{I}_{X}$ , yaitu
$\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}.$

Berdasarkan sifat irisan ideal, diperoleh bahwa $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ merupakan ideal di $R$ . Karena $X\subseteq\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}\subseteq J$ untuk setiap $J\in \mathfrak{I}_X$ , diperoleh $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ merupakan ideal terkecil yang memuat $X$ .

Perhatikan bahwa pada kejadian khusus ketika $X=\emptyset$ , ideal $\{0_{R}\}$ merupakan ideal yang memuat $X$ . Oleh karena itu, $\{0_{R}\}\in\mathfrak{I}_{X}$ sehingga diperoleh ideal terkecil yang memuat $X$ adalah

$\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}=\{0_{R}\}.$

Selanjutnya, muncul pertanyaan bagaimanakah bentuk elemen-elemen di dalam $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ , dengan $X\neq\emptyset$ . Misalkan $X$ adalah himpunan bagian tak kosong dari $R$ .

Jelas elemen-elemen dari $X$ berada di $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ , sebab $X\subseteq\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ . Dengan demikian, diperoleh $y\in\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ , untuk setiap $y\in X$ . Mengingat $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ ideal di $R$ , untuk setiap $k\in\mathbb{Z}$ dan $y\in X$ berlaku $ky\in \bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ . Lebih dari itu, untuk setiap $t\in\mathbb{N}$ , $k_{j}\in\mathbb{Z}$ , $y_{j}\in X$ , $j=1,\cdots,t$ , berlaku
$\sum_{j=1}^{t}{k_{j}y_{j}}\in \bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}.$
Mengingat $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ ideal di $R$ , untuk setiap $r\in R$ dan $x\in X$ diperoleh $rx$ juga berada di $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ . Selanjutnya, mengingat $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ ideal di $R$ , maka untuk setiap $r'\in R$ diperoleh
$rxr'=(rx)r'\in\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}.$

\item Mengingat $\bigcap\limits_{I_{i}\in\mathfrak{I}_{X}}{I_{i}}$ ideal di $R$ , untuk setiap $n\in \mathbb{N}$ , $r_{i},r_{i}'\in R$ , dan $x_{i}\in X$ , $i=1,\cdots,n$ ,

$\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i}r_{i}')}\in\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}.$
Dari (1) dan (3), serta mengingat $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ ideal di $R$ , diperoleh
$\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i}r_{i}')}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}\in \bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}.$

Dikumpulkan semua bentuk $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i}r_{i}')}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}$ dengan $r_{i}, r_{i}'\in R$ dan $x_{i},y_{j}\in X$ , yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan $\langle X\rangle$ sebagai berikut:

$\langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i}r_{i}')}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}\mid n,t\in\mathbb{N}, ~ k_{j}\in\mathbb{Z}, ~r_{i},r_{i}'\in R, ~x_{i},y_{j}\in X\right\},$

maka akan diperoleh suatu teorema sebagai berikut.

Teorema 1. Diberikan sebarang ring $R$ . Jika $X$ adalah himpunan bagian tak kosong dari $R$ dan $\mathfrak{I}_{X}=\{I\mid I\textrm{ ideal dan }X\subseteq I\}$ , maka berlaku $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}=\langle X\rangle$ .

Bukti. (Sebagai latihan)

Harus dibuktikan $\langle X\rangle$ merupakan ideal di $R$ .
Harus dibuktikan $X\subseteq\langle X\rangle$ .
Langkah terakhir harus dibuktikan $\langle X\rangle$ merupakan ideal terkecil di $R$ yang memuat $X$ .

$\blacksquare$

Definisi 2. Diberikan ring $R$ dan himpunan bagian tak kosong $X\subseteq R$ . Ideal $\langle X\rangle$ disebut ideal yang dibangun oleh $X$ .

Untuk sebarang ring $R$ dan himpunan bagian tak kosong $X\subseteq R$ , jelas bahwa $\langle X\rangle\subseteq R$ tetapi belum tentu berlaku $\langle X\rangle=R$ . Jika $\langle X\rangle=R$ , maka munculah definisi ring yang dibangun oleh suatu himpunan sebagai berikut.

Definisi 3. Diberikan ring $R$ dan himpunan bagian tak kosong $X\subseteq R$ . Ring $R$ disebut ring yang dibangun oleh $X$ jika $\langle X\rangle=R$ .

Khusus untuk ring $R$ dengan elemen satuan (katakan $1_{R}$ ), jika $\emptyset\neq X\subseteq R$ maka untuk setiap $n\in \mathbb{Z}$ dan $x\in X$ , diperoleh:

Jika $n=0$ , maka $nx=0_{R}$ .
Jika $n>0$ , maka
$nx = n(1_{R}x) \overset{def.}{=} \underbrace{1_{R}x+1_{R}x+\cdots+1_{R}x}_{n\; kali}= (\underbrace{1_{R}+1_{R}+\cdots+1_{R}}_{n\; kali})x = sx=sx1_{R},$

untuk suatu $s\in R$ .
Jika $n<0$ , maka
$nx = n(1_{R}x) \overset{def.}{=} \underbrace{1_{R}x+1_{R}x+\cdots+1_{R}x}_{|n|\; kali}= (\underbrace{1_{R}+1_{R}+\cdots+1_{R}}_{|n|\; kali})x = tx=tx1_{R}$

untuk suatu $t\in R$ .

Akibatnya, ideal terkecil di $R$ yang memuat $X$ adalah

(1) $\begin{equation*} \langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i}r_{i}')}\mid n\in\mathbb{N}, ~r_{i},r_{i}'\in R, ~x_{i}\in X\right\}. \end{equation*}$

Khusus untuk ring $R$ yang komutatif, ideal terkecil yang memuat $X$ adalah

(2) $\begin{equation*} \langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i})}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}\mid n,t\in\mathbb{N}, ~ k_{i}\in\mathbb{Z}, ~r_{i}\in R, ~x_{i},y_{j}\in X\right\}. \end{equation*}$

(Silahkan dibuktikan sebagai latihan)

Kasus yang lebih khusus lagi, jika $R$ adalah ring komutatif dengan elemen satuan maka berdasarkan (1) dan (2) diperoleh

$\langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i})}\mid n\in\mathbb{N}, ~r_{i}\in R, ~x_{i}\in X\right\}.$

Contoh 4. Diberikan ring bilangan bulat $\mathbb{Z}$ dan $X=\{2,3\}$ . Ideal yang dibangun oleh $X$ adalah

$\langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(2r+3s)}\mid n\in\mathbb{N},r,s\in\mathbb{Z}\right\}.$

Diberikan sebarang ring $R$ dan $X$ himpunan bagian tak kosong dari $R$ . Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa ideal kiri terkecil yang memuat $X$ yang dinotasikan dengan $\langle X\rangle_l$ tidak lain akan berbentuk

$\langle X\rangle_l=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i})}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}\mid n,t\in\mathbb{N}, ~ k_{i}\in\mathbb{Z}, ~r_{i}\in R, ~x_{i},y_{j}\in X\right\}.$

Ideal kanan terkecil yang memuat $X$ yang dinotasikan dengan $\langle X\rangle_r$ tidak lain akan berbentuk

$\langle X\rangle_r=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}r_{i}')}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}\mid n,t\in\mathbb{N}, ~ k_{i}\in\mathbb{Z}, ~r_{i}'\in R, ~x_{i},y_{j}\in X\right\}.$

Tentu saja jika $R$ merupakan ring komutatif setiap ideal kiri akan merupakan ideal kanan, sehingga $\langle X\rangle_l=\langle X\rangle_r$ .

Diberikan sebarang ring $R$ . Jika $X\subseteq R$ hanya terdiri dari satu elemen, misalkan $X=\{a\}$ , maka $\langle X\rangle=\langle \{a\}\rangle$ akan sama dengan

$\langle X\rangle=\left\{rar'+ka\mid r,r'\in R,k\in\mathbb{Z}\right\},$

dan selanjutnya disebut ideal yang dibangun oleh $a$ . Jika $x=\{0\}$ maka kan diperoleh ideal yang dibangun oleh $\{0\}$ tidak lain adalah ideal $\{0\}$ itu sendiri, sedangkan jika $R$ adalah ring yang memuat elemen satuan $1_{R}$ maka ideal yang dibangun oleh $1_{R}$ tidak lain adalah $R$ sendiri. Jika $R$ merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, maka

$\langle \{a\} \rangle=\{ra\mid r\in R\}=\{ar\mid r\in R\},$

dan selanjutnya dinotasikan dengan $aR$ .

Selanjutnya, jika diberikan ring $R$ serta ideal $I_{1}$ dan $I_{2}$ di $R$ maka \mbox{ $I_{1}\cup I_{2}$ } belum tentu membentuk ideal di $R$ . Sebagai contoh pada ring bilangan bulat $\mathbb{Z}$ , himpunan $2\mathbb{Z}$ dan $3\mathbb{Z}$ masing-masing merupakan ideal, namun $2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ tidak merupakan ideal, sebab $2, 3 \in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ tetapi $2+3=5 \not \in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ .

Mengingat $I_{1}\cup I_{2}$ merupakan himpunan bagian tak kosong dari $R$ , dapat dibentuk ideal terkecil di $R$ yang memuat $I_{1}\cup I_{2}$ , yaitu $\langle I_{1}\cup I_{2} \rangle$ .

Teorema 5. Diberikan sebarang ring $R$ . Jika $I_{1}$ dan $I_{2}$ masing-masing merupakan ideal di $R$ , maka

$\langle I_{1}\cup I_{2} \rangle=I_{1}+I_{2}.$