Jika diberikan ring $R$ dan himpunan $X\subseteq R$, maka $X$ bisa merupakan ideal di $R$ atau $X$ bukan merupakan ideal di $R$. Jika $X$ bukan merupakan ideal di $R$, maka selalu dapat dibentuk ideal yang memuat $X$, yakni paling tidak ring $R$ itu sendiri. Namun ideal $R$ merupakan ideal terbesar dan ideal yang trivial. Oleh karena itu, muncul pertanyaan, bagaimana mencari ideal terkecil yang memuat $X$. Berikut diberikan langkah-langkah mencari ideal terkecil yang memuat $X$.
- Dikumpulkan semua ideal yang memuat $X$, yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan $\mathfrak{I}_{X}$, yaitu
\begin{eqnarray*}
\mathfrak{I}_{X}&=&\{I\mid I\textrm{ adalah ideal di }R\text{ dan }X\subseteq I\}.
\end{eqnarray*} - Dibentuk irisan dari semua ideal di dalam $\mathfrak{I}_{X}$, yaitu
$$\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}.$$
Berdasarkan sifat irisan ideal, diperoleh bahwa $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ merupakan ideal di $R$. Karena $X\subseteq\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}\subseteq J$ untuk setiap $J\in \mathfrak{I}_X$, diperoleh $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ merupakan ideal terkecil yang memuat $X$.
Perhatikan bahwa pada kejadian khusus ketika $X=\emptyset$, ideal $\{0_{R}\}$ merupakan ideal yang memuat $X$. Oleh karena itu, $\{0_{R}\}\in\mathfrak{I}_{X}$ sehingga diperoleh ideal terkecil yang memuat $X$ adalah $$\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}=\{0_{R}\}.$$
Selanjutnya, muncul pertanyaan bagaimanakah bentuk elemen-elemen di dalam $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$, dengan $X\neq\emptyset$. Misalkan $X$ adalah himpunan bagian tak kosong dari $R$.
- Jelas elemen-elemen dari $X$ berada di $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$, sebab $X\subseteq\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$. Dengan demikian, diperoleh $y\in\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$, untuk setiap $y\in X$. Mengingat $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ ideal di $R$, untuk setiap $k\in\mathbb{Z}$ dan $y\in X$ berlaku $ky\in \bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$. Lebih dari itu, untuk setiap $t\in\mathbb{N}$, $k_{j}\in\mathbb{Z}$, $y_{j}\in X$, $j=1,\cdots,t$, berlaku
$$\sum_{j=1}^{t}{k_{j}y_{j}}\in \bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}.$$ - Mengingat $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ ideal di $R$, untuk setiap $r\in R$ dan $x\in X$ diperoleh $rx$ juga berada di $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$. Selanjutnya, mengingat $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ ideal di $R$, maka untuk setiap $r’\in R$ diperoleh $$rxr’=(rx)r’\in\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}.$$
\item Mengingat $\bigcap\limits_{I_{i}\in\mathfrak{I}_{X}}{I_{i}}$ ideal di $R$, untuk setiap $n\in \mathbb{N}$, $r_{i},r_{i}’\in R$, dan $x_{i}\in X$, $i=1,\cdots,n$, $$\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i}r_{i}’)}\in\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}.$$ - Dari (1) dan (3), serta mengingat $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}$ ideal di $R$, diperoleh
$$\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i}r_{i}’)}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}\in \bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}.$$
Dikumpulkan semua bentuk $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i}r_{i}’)}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}$ dengan $r_{i}, r_{i}’\in R$ dan $x_{i},y_{j}\in X$, yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan $\langle X\rangle$ sebagai berikut:
$$\langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i}r_{i}’)}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}\mid n,t\in\mathbb{N}, ~ k_{j}\in\mathbb{Z}, ~r_{i},r_{i}’\in R, ~x_{i},y_{j}\in X\right\},$$
maka akan diperoleh suatu teorema sebagai berikut.
| Teorema 1. Diberikan sebarang ring $R$. Jika $X$ adalah himpunan bagian tak kosong dari $R$ dan $\mathfrak{I}_{X}=\{I\mid I\textrm{ ideal dan }X\subseteq I\}$, maka berlaku $\bigcap\limits_{I\in\mathfrak{I}_{X}}{I}=\langle X\rangle$. |
Bukti. (Sebagai latihan)
- Harus dibuktikan $\langle X\rangle$ merupakan ideal di $R$.
- Harus dibuktikan $X\subseteq\langle X\rangle$.
- Langkah terakhir harus dibuktikan $\langle X\rangle$ merupakan ideal terkecil di $R$ yang memuat $X$.
$\blacksquare$
| Definisi 2. Diberikan ring $R$ dan himpunan bagian tak kosong $X\subseteq R$. Ideal $\langle X\rangle$ disebut ideal yang dibangun oleh $X$. |
Untuk sebarang ring $R$ dan himpunan bagian tak kosong $X\subseteq R$, jelas bahwa $\langle X\rangle\subseteq R$ tetapi belum tentu berlaku $\langle X\rangle=R$. Jika $\langle X\rangle=R$, maka munculah definisi ring yang dibangun oleh suatu himpunan sebagai berikut.
| Definisi 3. Diberikan ring $R$ dan himpunan bagian tak kosong $X\subseteq R$. Ring $R$ disebut ring yang dibangun oleh $X$ jika $\langle X\rangle=R$. |
Khusus untuk ring $R$ dengan elemen satuan (katakan $1_{R}$), jika $\emptyset\neq X\subseteq R$ maka untuk setiap $n\in \mathbb{Z}$ dan $x\in X$, diperoleh:
- Jika $n=0$, maka $nx=0_{R}$.
- Jika $n>0$, maka
$$nx = n(1_{R}x) \overset{def.}{=}
\underbrace{1_{R}x+1_{R}x+\cdots+1_{R}x}_{n\; kali}= (\underbrace{1_{R}+1_{R}+\cdots+1_{R}}_{n\; kali})x = sx=sx1_{R},$$
untuk suatu $s\in R$. - Jika $n<0$, maka $$nx = n(1_{R}x) \overset{def.}{=}
\underbrace{1_{R}x+1_{R}x+\cdots+1_{R}x}_{|n|\; kali}= (\underbrace{1_{R}+1_{R}+\cdots+1_{R}}_{|n|\; kali})x = tx=tx1_{R}$$
untuk suatu $t\in R$.
Akibatnya, ideal terkecil di $R$ yang memuat $X$ adalah
\begin{equation}
\langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i}r_{i}’)}\mid n\in\mathbb{N}, ~r_{i},r_{i}’\in R, ~x_{i}\in X\right\}.
\end{equation}
Khusus untuk ring $R$ yang komutatif, ideal terkecil yang memuat $X$ adalah
\begin{equation}
\langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i})}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}\mid n,t\in\mathbb{N}, ~ k_{i}\in\mathbb{Z}, ~r_{i}\in R, ~x_{i},y_{j}\in X\right\}.
\end{equation}
(Silahkan dibuktikan sebagai latihan)
Kasus yang lebih khusus lagi, jika $R$ adalah ring komutatif dengan elemen satuan maka berdasarkan (1) dan (2) diperoleh
$$\langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i})}\mid n\in\mathbb{N}, ~r_{i}\in R, ~x_{i}\in X\right\}.$$
Contoh 4. Diberikan ring bilangan bulat $\mathbb{Z}$ dan $X=\{2,3\}$. Ideal yang dibangun oleh $X$ adalah
$$\langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(2r+3s)}\mid n\in\mathbb{N},r,s\in\mathbb{Z}\right\}.$$
Diberikan sebarang ring $R$ dan $X$ himpunan bagian tak kosong dari $R$. Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa ideal kiri terkecil yang memuat $X$ yang dinotasikan dengan $\langle X\rangle_l$ tidak lain akan berbentuk
$$
\langle X\rangle_l=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(r_{i}x_{i})}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}\mid n,t\in\mathbb{N}, ~ k_{i}\in\mathbb{Z}, ~r_{i}\in R, ~x_{i},y_{j}\in X\right\}.
$$
Ideal kanan terkecil yang memuat $X$ yang dinotasikan dengan $\langle X\rangle_r$ tidak lain akan berbentuk
\[
\langle X\rangle_r=\left\{\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}r_{i}’)}+\sum_{j=1}^{t}{(k_{j}y_{j})}\mid n,t\in\mathbb{N}, ~ k_{i}\in\mathbb{Z}, ~r_{i}’\in R, ~x_{i},y_{j}\in X\right\}.
\]
Tentu saja jika $R$ merupakan ring komutatif setiap ideal kiri akan merupakan ideal kanan, sehingga $\langle X\rangle_l=\langle X\rangle_r$.
Diberikan sebarang ring $R$. Jika $X\subseteq R$ hanya terdiri dari satu elemen, misalkan $X=\{a\}$, maka $\langle X\rangle=\langle \{a\}\rangle$ akan sama dengan
\[
\langle X\rangle=\left\{rar’+ka\mid r,r’\in R,k\in\mathbb{Z}\right\},
\]
dan selanjutnya disebut ideal yang dibangun oleh $a$. Jika $x=\{0\}$ maka kan diperoleh ideal yang dibangun oleh $\{0\}$ tidak lain adalah ideal $\{0\}$ itu sendiri, sedangkan jika $R$ adalah ring yang memuat elemen satuan $1_{R}$ maka ideal yang dibangun oleh $1_{R}$ tidak lain adalah $R$ sendiri. Jika $R$ merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, maka
$$\langle \{a\} \rangle=\{ra\mid r\in R\}=\{ar\mid r\in R\},$$
dan selanjutnya dinotasikan dengan $aR$.
Selanjutnya, jika diberikan ring $R$ serta ideal $I_{1}$ dan $I_{2}$ di $R$ maka \mbox{$I_{1}\cup I_{2}$} belum tentu membentuk ideal di $R$. Sebagai contoh pada ring bilangan bulat $\mathbb{Z}$, himpunan $2\mathbb{Z}$ dan $3\mathbb{Z}$ masing-masing merupakan ideal, namun $2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ tidak merupakan ideal, sebab $2, 3 \in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ tetapi $2+3=5 \not \in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$.
Mengingat $I_{1}\cup I_{2}$ merupakan himpunan bagian tak kosong dari $R$, dapat dibentuk ideal terkecil di $R$ yang memuat $I_{1}\cup I_{2}$, yaitu $\langle I_{1}\cup I_{2} \rangle$.
| Teorema 5. Diberikan sebarang ring $R$. Jika $I_{1}$ dan $I_{2}$ masing-masing merupakan ideal di $R$, maka $$\langle I_{1}\cup I_{2} \rangle=I_{1}+I_{2}.$$ |