Definisi Ideal

Pada teori grup, telah kita ketahui bahwa dari suatu grup dapat dibentuk grup baru dengan memanfaatkan suatu subgrup normal. Grup yang terbentuk tersebut dinamakan grup faktor. (Baca: Koset dan Subgrup Normal dan Grup Faktor)

Sejalan dengan ide pembentukan grup faktor tersebut, dapat dibentuk ring faktor. Dalam proses pembentukan ring faktor ini, memotivasi munculnya definisi ideal dari suatu ring.

Jika S adalah subring dalam ring R, maka S merupakan subgrup dalam grup abelian (R,+), sehingga S merupakan subgrup normal. Dari teori grup, terbentuklah grup faktor \big(R/S, +\big) yang juga merupakan grup abelian, dengan

    \[ R/S=\{\overline{r}\mid r\in R\}=\{r+S\mid r\in R\}. \]

Selanjutnya, muncul pertanyaan: apakah dapat dibentuk operasi perkalian

    \[ \cdot :R/S\times R/S\rightarrow R/S \]

sedemikian sehingga \big(R/S,+,\cdot\big) juga merupakan ring?

Diambil sebarang \overline{r_1}, \overline{r_2} \in R/S, sehingga diperoleh r_1, r_2 \in R. Dengan demikian, r_1 r_2 \in R, dan dari kenyataan ini, didefinisikan:

    \[\overline{r_1}\cdot\overline{r_1}\overset{\text{def.}}{=}\overline{r_1 r_2 },\]

untuk setiap \overline{r_1}, \overline{r_2} \in R/S.

Sebelum menunjukkan aksioma-aksioma ring dipenuhi atau tidak pada R/S terhadap operasi + dan \cdot, terlebih dahulu harus dicek apakah operasi \cdot well-defined atau tidak.

Diambil sebarang \overline{r_1}, \overline{r_2}, \overline{r_1'}, \overline{r_2'} \in R/S de\-ngan \overline{r_1}=\overline{r_1'}, dan \overline{r_2}= \overline{r_2'}. Akan dicek apakah

    \[ \overline{r_1} \cdot \overline{r_2}=\overline{r_1'}\cdot \overline{r_2'}, \]

yang artinya \overline{r_1r_2}=\overline{r_1'r_2'}.
Dengan menggunakan makna dari kesamaan koset yang sudah dibahas dalam teori grup, permasalahan tersebut ekuivalen dengan mengecek apakah jika r_1-r_1'\in S dan r_2-r_2'\in S akan diperoleh r_1r_2-r_1'r_2'\in S.
Dari r_1-r_1'\in S dan r_2-r_2'\in S, diperoleh r_1-r_1'=s_1 dan r_2-r_2'=s_2 untuk suatu s_1, s_2 \in S. Akan diselidiki apakah r_1r_2-r_1'r_2'=s_3 untuk suatu s_3 \in S.

(1)   \begin{equation*} \begin{split} r_1r_2-r_1'r_2'& = (s_1+r_1')(s_2+r_2')-r_1'r_2'\\ & = (s_1s_2+s_1r_2'+r_1's_2+r_1'r_2')-r_1'r_2'\\ & = s_1s_2+s_1r_2'+r_1's_2. \end{split} \end{equation*}

Mengingat S merupakan subring maka s_1s_2 \in S, namun s_1r_2' dan r_1's_2 belum tentu berada dalam S, sehingga secara keseluruhan r_1r_2-r_1'r_2'=s_1s_2+s_1r_2'+r_1's_2 juga belum tentu berada dalam S sebab r_1 dan r_2 adalah elemen-elemen dalam R yang belum tentu berada dalam S. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa operasi \cdot pada R/S belum tentu well-defined.

Berkaitan dengan hal tersebut, didefinisikan pengertian ideal sebagai berikut:

Definisi 1. Misalkan R adalah suatu ring dan \emptyset\neq I \subseteq S. Himpunan I disebut ideal dari R jika

  1. (\forall s_1, s_2 \in I)s_1-s_2 \in I dan
  2. (\forall s_1 \in I)(\forall r\in R)s_1r, rs_1 \in I.

Contoh 2. 

  1. Subset 2\mathbb{Z} merupakan ideal di ring \mathbb{Z}. Secara umum, untuk setiap k\in\mathbb{N}, k\mathbb{Z} merupakan ideal di ring \mathbb{Z}.
  2. Subset M_{2\times 2}(2\mathbb{Z}) merupakan ideal di ring M_{2\times 2}(\mathbb{Z}).

Setiap ring R selalu mempunyai ideal, yaitu paling tidak mempunyai ideal \{0_{R}\} dan R. Kedua ideal tersebut dinamakan ideal trivial.

Mengingat pada ring R tidak disyaratkan bersifat komutatif terhadap perkalian, untuk sebarang himpunan bagian tak kosong I\subseteq R dan untuk sebarang s_1\in I, r\in R, jika s_1r berada di dalam I belum tentu rs_1 berada dalam I, begitu juga sebaliknya. Mengingat hal tersebut, dapat didefinisikanlah pengertian ideal kiri dan ideal kanan sebagai berikut:

Definisi 3. Misalkan R suatu ring dan I \subseteq S.

  1. Subset I disebut ideal kiri jika
    1. (\forall s_1, s_2 \in I)s_1-s_2 \in I
    2. (\forall s_1 \in I)(\forall r\in R)rs_1 \in I.
  2. Subset I disebut ideal kanan jika
    1. (\forall s_1, s_2 \in I)s_1-s_2 \in I
    2. (\forall s_1 \in I)(\forall r\in R)s_1r \in I.

Contoh 4. Diberikan ring matriks M_{2\times 2}(\mathbb{R}). Misalkan

    \[I_1=\left\{\begin{bmatrix}a & 0\\ b&0\end{bmatrix}\mid a,b\in\mathbb{R}\right\} \text{ dan } I_2=\left\{\begin{bmatrix}0 & a\\ 0&b\end{bmatrix}\mid a,b\in\mathbb{R}\right\}.\]

Ideal I_1 merupakan ideal kiri di M_{2\times 2}(\mathbb{R}) dan I_2 merupakan ideal kanan di M_{2\times 2}(\mathbb{R}).

Berdasarkan Definisi 1 dan Definisi 2, mudah dipahami bahwa himpunan bagian tak kosong I dari ring R disebut ideal di R jika I merupakan ideal kiri sekaligus ideal kanan di R.