Pada teori grup, telah kita ketahui bahwa dari suatu grup dapat dibentuk grup baru dengan memanfaatkan suatu subgrup normal. Grup yang terbentuk tersebut dinamakan grup faktor. (Baca: Koset dan Subgrup Normal dan Grup Faktor)
Sejalan dengan ide pembentukan grup faktor tersebut, dapat dibentuk ring faktor. Dalam proses pembentukan ring faktor ini, memotivasi munculnya definisi ideal dari suatu ring.
Jika $S$ adalah subring dalam ring $R$, maka $S$ merupakan subgrup dalam grup abelian $(R,+)$, sehingga $S$ merupakan subgrup normal. Dari teori grup, terbentuklah grup faktor $\big(R/S, +\big)$ yang juga merupakan grup abelian, dengan
\[
R/S=\{\overline{r}\mid r\in R\}=\{r+S\mid r\in R\}.
\]
Selanjutnya, muncul pertanyaan: apakah dapat dibentuk operasi perkalian
\[
\cdot :R/S\times R/S\rightarrow R/S
\]
sedemikian sehingga $\big(R/S,+,\cdot\big)$ juga merupakan ring?
Diambil sebarang $\overline{r_1}, \overline{r_2} \in R/S$, sehingga diperoleh $r_1, r_2 \in R$. Dengan demikian, $r_1 r_2 \in R$, dan dari kenyataan ini, didefinisikan:
$$\overline{r_1}\cdot\overline{r_1}\overset{\text{def.}}{=}\overline{r_1 r_2 },$$
untuk setiap $\overline{r_1}, \overline{r_2} \in R/S$.
Sebelum menunjukkan aksioma-aksioma ring dipenuhi atau tidak pada $R/S$ terhadap operasi $+$ dan $\cdot$, terlebih dahulu harus dicek apakah operasi $\cdot$ well-defined atau tidak.
Diambil sebarang $\overline{r_1}, \overline{r_2}, \overline{r_1′}, \overline{r_2′} \in R/S$ de\-ngan $\overline{r_1}=\overline{r_1′}$, dan $\overline{r_2}= \overline{r_2′}$. Akan dicek apakah
\[
\overline{r_1} \cdot \overline{r_2}=\overline{r_1′}\cdot \overline{r_2′},
\]
yang artinya $\overline{r_1r_2}=\overline{r_1’r_2′}$.
Dengan menggunakan makna dari kesamaan koset yang sudah dibahas dalam teori grup, permasalahan tersebut ekuivalen dengan mengecek apakah jika $r_1-r_1’\in S$ dan $r_2-r_2’\in S$ akan diperoleh $r_1r_2-r_1’r_2’\in S$.
Dari $r_1-r_1’\in S$ dan $r_2-r_2’\in S$, diperoleh $r_1-r_1’=s_1$ dan $r_2-r_2’=s_2$ untuk suatu $s_1, s_2 \in S$. Akan diselidiki apakah $r_1r_2-r_1’r_2’=s_3$ untuk suatu $s_3 \in S$.
\begin{equation}
\begin{split}
r_1r_2-r_1’r_2’& = (s_1+r_1′)(s_2+r_2′)-r_1’r_2’\\
& = (s_1s_2+s_1r_2’+r_1’s_2+r_1’r_2′)-r_1’r_2’\\
& = s_1s_2+s_1r_2’+r_1’s_2.
\end{split}
\end{equation}
Mengingat $S$ merupakan subring maka $s_1s_2 \in S$, namun $s_1r_2’$ dan $r_1’s_2$ belum tentu berada dalam $S$, sehingga secara keseluruhan $r_1r_2-r_1’r_2’=s_1s_2+s_1r_2’+r_1’s_2$ juga belum tentu berada dalam $S$ sebab $r_1$ dan $r_2$ adalah elemen-elemen dalam $R$ yang belum tentu berada dalam $S$. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa operasi $\cdot$ pada $R/S$ belum tentu well-defined.
Berkaitan dengan hal tersebut, didefinisikan pengertian ideal sebagai berikut:
Definisi 1. Misalkan $R$ adalah suatu ring dan $\emptyset\neq I \subseteq S$. Himpunan $I$ disebut ideal dari $R$ jika
|
Contoh 2.
- Subset $2\mathbb{Z}$ merupakan ideal di ring $\mathbb{Z}$. Secara umum, untuk setiap $k\in\mathbb{N}$, $k\mathbb{Z}$ merupakan ideal di ring $\mathbb{Z}$.
- Subset $M_{2\times 2}(2\mathbb{Z})$ merupakan ideal di ring $M_{2\times 2}(\mathbb{Z})$.
Setiap ring $R$ selalu mempunyai ideal, yaitu paling tidak mempunyai ideal $\{0_{R}\}$ dan $R$. Kedua ideal tersebut dinamakan ideal trivial.
Mengingat pada ring $R$ tidak disyaratkan bersifat komutatif terhadap perkalian, untuk sebarang himpunan bagian tak kosong $I\subseteq R$ dan untuk sebarang $s_1\in I$, $r\in R$, jika $s_1r$ berada di dalam $I$ belum tentu $rs_1$ berada dalam $I$, begitu juga sebaliknya. Mengingat hal tersebut, dapat didefinisikanlah pengertian ideal kiri dan ideal kanan sebagai berikut:
Definisi 3. Misalkan $R$ suatu ring dan $I \subseteq S$.
|
Contoh 4. Diberikan ring matriks $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$. Misalkan
$$I_1=\left\{\begin{bmatrix}a & 0\\ b&0\end{bmatrix}\mid a,b\in\mathbb{R}\right\} \text{ dan } I_2=\left\{\begin{bmatrix}0 & a\\ 0&b\end{bmatrix}\mid a,b\in\mathbb{R}\right\}.$$
Ideal $I_1$ merupakan ideal kiri di $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ dan $I_2$ merupakan ideal kanan di $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$.
Berdasarkan Definisi 1 dan Definisi 2, mudah dipahami bahwa himpunan bagian tak kosong $I$ dari ring $R$ disebut ideal di $R$ jika $I$ merupakan ideal kiri sekaligus ideal kanan di $R$.