Pembentukan Ring Faktor dari Suatu ideal

Dari uraian pada latar belakang munculnya pengertian ideal, dapat disimpulkan bahwa jika $I$ merupakan ideal maka dapat disimpulkan bahwa operasi $\cdot$ pada $R/S$ merupakan operasi well-defined. Dengan menggunakan aksioma-aksioma ring, dapat ditunjukkan bahwa $R/I$ merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian koset-koset sebagaimana dinyatakan dalam sifat sebagai berikut.

Teorema 1. Jika $I$ merupakan ideal dalam ring $R$ maka $R/I$ merupakan ring terhadap operasi: penjumlahan $+$, dengan definisi $$\overline{r_1}+\overline{r_2}=\overline{r_1+r_2},$$ untuk setiap $\overline{r_1},\overline{r_1}\in R/I$; dan perkalian $\cdot$, dengan definisi $$\overline{r_1}\cdot\overline{r_2}=\overline{r_1\cdot r_2},$$ untuk setiap $\overline{r_1},\overline{r_1}\in R/I$.

Bukti. Dari teori grup, jelas bahwa $\big(R/I,+\big)$ merupakan grup komutatif. Dengan demikian, tinggal ditunjukkan bahwa operasi perkalian $\cdot$ bersifat asosiatif, distributif kiri, dan distributif kanan. Diambil sebarang $\overline{r_1}, \overline{r_2}, \overline{r_3} \in R/I$. Hal tersebut mempunyai arti bahwa $r_1, r_2, r_3 \in R$. Oleh karena itu, diperoleh:

1. Sifat asosiatif:
   \begin{equation*}
   \begin{split}
   \overline{r_1}\cdot( \overline{r_2}\cdot\overline{r_3})& = \overline{r_1}\cdot \overline{r_2r_3}\\
   & = \overline{r_1(r_2 r_3)}=\overline{(r_1 r_2) r_3}\\
   & = \overline{r_1r_2}\cdot \overline{r_3}=(\overline{r_1}\cdot\overline{r_2})\cdot\overline{r_3}.
   \end{split}
   \end{equation*}
   Jadi, terbukti $\cdot$ bersifat asosiatif.
2. Sifat distributif kiri dan kanan:
   \begin{equation*}
   \begin{split}
   \overline{r_1}\cdot( \overline{r_2}+\overline{r_3})& = \overline{r_1}\cdot( \overline{r_2+r_3})= \overline{r_1(r_2+r_3)}\\
   & = \overline{r_1 r_2+ r_1 r_3}=\overline{r_1 r_2}+\overline{r_1 r_3}\\
   & = \overline{r_1}\cdot \overline{r_2}+\overline{r_1}\cdot \overline{r_3}.
   \end{split}
   \end{equation*}
   Jadi, terbukti bahwa $\cdot$ bersifat distributif kiri terhadap $+$. Secara analog dapat dibuktikan bahwa $\cdot$ bersifat distributif kanan terhadap $+$.

$\blacksquare$

Ring $\big(R/I,+,\cdot\big)$ selanjutnya disebut {\bf ring faktor}\index{ring faktor} yang dibentuk dari ideal $I$ dalam ring $R$. Dengan mudah akan dapat ditunjukkan bahwa jika $R$ merupakan ring komutatif maka ring faktor $\big(R/I,+,\cdot\big)$ juga bersifat komutatif dan jika $R$ merupakan ring dengan elemen satuan $1_{R}$ maka ring faktor $\big(R/I,+,\cdot\big)$ juga mempunyai elemen satuan $\overline{1_{R}}$.

Contoh 2.

1. Misal diambil ring bilangan bulat $\mathbb{Z}$ dan ideal $2\mathbb{Z}$ di ring $\mathbb{Z}$. Mudah dipahami bahwa hanya ada dua koset dari ideal $2\mathbb{Z}$, yaitu koset $0+2\Z$ dan $1+2\Z$. Dengan demikian, diperoleh ring faktor $$\Z/2\Z=\{0+2\Z, 1+2\Z\}=\{\overline{0},\overline{1}\}$$
   dengan
   \begin{equation*}
   \begin{split}
   (0+2\Z)+(0+2\Z) &= (0+0)+2\Z = 0+2\Z\\
   (1+2\Z)+(1+2\Z) &= (1+1)+2\Z = 0+2\Z\\
   (0+2\Z)+(1+2\Z) &= (0+1)+2\Z = 1+2\Z
   \end{split}
   \end{equation*}
   \begin{equation*}
   \begin{split}
   (0+2\Z)\cdot(0+2\Z) &= (0\cdot0)+2\Z = 0+2\Z\\
   (1+2\Z)\cdot(1+2\Z) &= (1\cdot1)+2\Z = 1+2\Z\\
   (0+2\Z)\cdot(1+2\Z) &= (0\cdot1)+2\Z = 0+2\Z
   \end{split}
   \end{equation*}
2. Telah kita ketahui bahwa secara umum untuk setiap $k\in\Z^{\geq 0}$, $k\Z$ merupakan ideal di ring $\Z$. Dengan demikian, dapat dibentuk ring faktor
   \begin{align*}
   \Z/k\Z &= \{0+k\Z, 1+k\Z,\cdots, (k-1)+k\Z\}\\
   &= \{\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{k-1}\}.
   \end{align*}