Subring, Suatu Ring Di Dalam Ring

Dalam teori ring, salah satu contoh ring yang sudah umum diketahui adalah himpunan semua bilangan bulat $\mathbb{Z}$ terhadap operasi penjumlahahan dan perkalian. Beberapa subhimpunan tak kosong yang dimiliki himpunan $\mathbb{Z}$ beberapa diantaranya adalah himpunan $2\mathbb{Z}$ (himpunan semua bilangan genap) dan himpunan $2\mathbb{Z}+1$ (himpunan semua bilangan ganjil).

Diperhatikan bahwa himpunan $2\mathbb{Z}$ merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Di lain pihak, himpunan $2\mathbb{Z}+1$ bukan merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dikarenakan operasi penjumlahan tidak tertutup pada himpunan $2\mathbb{Z}+1$ (jumlahan dua bilangan ganjil hasilnya bukan bilangan ganjil). Dengan memperhatikan dua fenomena tersebut, suatu subhimpunan tak kosong dari sutau ring bisa merupakan ring atau tidak terhadap operasi yang sama pada ringnya. Pada kasus subhimpunan tak kosong tersebut merupakan ring, memotifasi adanya definisi dari subring.

Definisi 1. Misalkan $S$ adalah himpunan bagian tak kosong dari di dalam ring $(R,+,\cdot)$ . Himpunan $S$ disebut subring dari $R$ jika $S$ merupakan subring terhadap operasi yang sama pada $S$ , yaitu operasi penjumlahan $+$ dan perkalian $\cdot$ .

Contoh 2. Berikut adalah contoh-contoh subgrup.

Mudah dipahami bahwa $2\Z$ merupakan subring dari ring $(\Z,+,\cdot)$ . Secara umum, untuk setiap $n\in\Z^{\geq 0}$ , $n\Z$ merupakan subring dari gring $(\Z,+,\cdot)$ .
Karena $(\Z,+,\cdot)$ dan $(\R,+,\cdot)$ keduanya merupakan ring dan $\Z\subset \R$ , maka $\Z$ merupakan subring dari ring $\R$ .
Himpunan semua matriks diagonal berukuran $2\times 2$ , yaitu $D=\left\{\begin{bmatrix}x & 0\\0 & y\end{bmatrix}\mid x,y\in\R\right\}$ , merupakan subring dari ring $(M_{2\times 2}(\R),+,\cdot)$ .
Setiap ring $(R,+,\cdot)$ selalu memuat subring, yaitu paling tidak memuat subring $\{0_{R}\}$ dan subring $R$ . Kedua subgrup itu disebut subring trivial.

Untuk membuktikan suatu subhimpunan tak kosong dari suatu ring merupakan subring, kita perlu menyelidiki syarat-syarat supaya subhimpunan tersebut menjadi ring. Jika diperhatikan lebih seksama, syarat berlakunya sifat assositaif, distributif, bisa kita abaikan karena sudah terwarisi dari sifat ringnya. Disamping itu, jika ditinjau dari operasi penjumlahannya, suatu subhimpunan merupakan subring maka terhadap operasi penjumlahan subhimpunan tersebut merupakan subgrup. Dengan adanya fakta ini, diperoleh Teorema berikut ini.

Teorema 3. Misalkan $(R,+\cdot)$ merupakan ring dan $S$ adalah suatu himpunan tak kosong dari $R$ . Himpunan $S$ merupakan subring dari $R$ jika dan hanya jika pada $S$ memenuhi sifat berikut:

Untuk setiap $x,y\in S$ berlaku $x-y\in S$
Untuk setiap $x,y\in S$ berlaku $x\cdot y\in S$

Berikut ini adalah contoh penggunaan teorema syarat perlu dan cukup untuk subring.

Contoh 4. Diketahui bahwa himpunan $M_{2\times 2}(\R)$ merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Buktikan bahwa himpunan matriks segitiga atas $TA_{2\times 2}(\R)=\left\{\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c\end{bmatrix}\mid a,b,c\in \mathbb{R}\right\}$ merupakan subring $(M_{2\times 2}(\R),+,\cdot)$ .
Bukti.

Diperhatikan bahwa himpunan $TA_{2\times 2}(\R)\neq \emptyset$ karena terdapat $\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\in TA_{2\times 2}(\R)$ .
Untuk setiap $A=\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} x & y\\ 0 & z \end{bmatrix}\in TA_{2\times 2}(\R)$ berlaku
$\begin{equation*} A-B=\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} x & y\\ 0 & z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a-x & b-y\\ 0 & c-z \end{bmatrix}\in TA_{2\times 2}(\R) \end{equation*}$

dan

$\begin{equation*} A\cdot B=\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x & y\\ 0 & z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ax & ay+bz\\ 0 & cz \end{bmatrix}\in TA_{2\times 2}(\R). \end{equation*}$

Berdasarkan syarat perlu dan cukup subring diperoleh bahwa himpunan $TA_{2\times 2}(\R)$ merupakan subring dari $M_{2\times 2}(\R)$

$\blacksquare$