Membuktikan suatu himpunan dari suatu ring merupakan subring

Soal:

Diketahui bahwa himpunan $M_{2\times 2}(\R)$ merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Buktikan bahwa himpunan matriks segitiga bawah $TB_{2\times 2}(\R)=\left\{\begin{bmatrix}
a & 0 \\ b & c
\end{bmatrix}\mid a,b,c\in \mathbb{R}\right\}$ merupakan subring $(M_{2\times 2}(\R),+,\cdot)$.

Solusi:

Untuk membuktikan $TB_{2\times 2}(\R)$ merupakan subring $(M_{2\times 2}(\R),+,\cdot)$, perlu menyelidiki:

1. $TB_{2\times 2}(\R)\neq \emptyset$
2. Untuk setiap $A,B\in TB_{2\times 2}(\R)$ berlaku $A-B\in TB_{2\times 2}(\R)$.
3. Untuk setiap $A,B\in TB_{2\times 2}(\R)$ berlaku $A\cdot B\in TB_{2\times 2}(\R)$.

Diperhatikan hal-hal berikut ini:

1. Terdapat $\begin{bmatrix}
   0 & 0\\ 0 & 0
   \end{bmatrix}\in TB_{2\times 2}(\R)$, jadi $TB_{2\times 2}(\R)\neq \emptyset$.
2. Untuk setiap $A=\begin{bmatrix}
   a & 0\\ b & c
   \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}
   x & 0\\ y & z
   \end{bmatrix}\in TB_{2\times 2}(\R)$ berlaku
   \begin{equation*}
   A-B=\begin{bmatrix}
   a & 0\\ b & c
   \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
   x & 0\\ y & z
   \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
   a-x & 0\\ b-y & c-z
   \end{bmatrix}\in TB_{2\times 2}(\R)
   \end{equation*}
3. Untuk setiap $A=\begin{bmatrix}
   a & 0\\ b & c
   \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}
   x & 0\\ y & z
   \end{bmatrix}\in TB_{2\times 2}(\R)$ berlaku
   \begin{equation*}
   AB=\begin{bmatrix}
   a & 0\\ b & c
   \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   x & 0\\ y & z
   \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
   ax & 0\\ bx+cy & cz
   \end{bmatrix}\in TB_{2\times 2}(\R)
   \end{equation*}

Berdasarkan SPC untuk subring, terbukti bahwa $TB_{2\times 2}(\R)$ merupakan subring $M_{2\times 2}(\R)$.

$\blacksquare$