Membuktikan suatu himpunan dari suatu ring merupakan subring

Soal:

Diketahui bahwa himpunan $M_{2\times 2}(\R)$ merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Buktikan bahwa himpunan matriks segitiga bawah $TB_{2\times 2}(\R)=\left\{\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix}\mid a,b,c\in \mathbb{R}\right\}$ merupakan subring $(M_{2\times 2}(\R),+,\cdot)$ .

Solusi:

Untuk membuktikan $TB_{2\times 2}(\R)$ merupakan subring $(M_{2\times 2}(\R),+,\cdot)$ , perlu menyelidiki:

$TB_{2\times 2}(\R)\neq \emptyset$
Untuk setiap $A,B\in TB_{2\times 2}(\R)$ berlaku $A-B\in TB_{2\times 2}(\R)$ .
Untuk setiap $A,B\in TB_{2\times 2}(\R)$ berlaku $A\cdot B\in TB_{2\times 2}(\R)$ .

Diperhatikan hal-hal berikut ini:

Terdapat $\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\in TB_{2\times 2}(\R)$ , jadi $TB_{2\times 2}(\R)\neq \emptyset$ .
Untuk setiap $A=\begin{bmatrix} a & 0\\ b & c \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} x & 0\\ y & z \end{bmatrix}\in TB_{2\times 2}(\R)$ berlaku
$\begin{equation*} A-B=\begin{bmatrix} a & 0\\ b & c \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} x & 0\\ y & z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a-x & 0\\ b-y & c-z \end{bmatrix}\in TB_{2\times 2}(\R) \end{equation*}$
Untuk setiap $A=\begin{bmatrix} a & 0\\ b & c \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} x & 0\\ y & z \end{bmatrix}\in TB_{2\times 2}(\R)$ berlaku
$\begin{equation*} AB=\begin{bmatrix} a & 0\\ b & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x & 0\\ y & z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ax & 0\\ bx+cy & cz \end{bmatrix}\in TB_{2\times 2}(\R) \end{equation*}$

Berdasarkan SPC untuk subring, terbukti bahwa $TB_{2\times 2}(\R)$ merupakan subring $M_{2\times 2}(\R)$ .

$\blacksquare$