Membuktikan suatu himpunan dari suatu grup merupakan subgrup normal

Soal:

Diketahui $S_{2}(\R)=\left\{\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}\mid ac\neq 0\right\}$ merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks. Buktikan bahwa $\mathcal{TA}=\left\{B=\begin{bmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\mid x\in \mathbb{R}\right\}$ merupakan subgrup normal di $S_{2}(\R)$ .

Solusi:

Untuk menyelesaikan soal di atas, yang pertama dilakukan adalah membuktikan himpunan $\mathcal{TA}$ merupakan subgrup di $S_{2}(\mathbb{R})$ . Diambil sebarang $A=\begin{bmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 1 & y\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\in \mathcal{TA}$ . Diperhatikan bahwa

$AB^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -y\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & x-y\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\in \mathcal{TA}$

Berdasarkan SPC untuk subgrup, terbukti bahwa $\mathcal{TA}$ subgrup di $G$ .

Selanjutnya dibuktikan untuk sifat kenormalannya. Diambil sebarang $X=\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix}\in S_{2}(\mathbb{R}), A=\begin{bmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\in \mathcal{TA}$ . Diperhatikan bahwa

$\begin{equation*} \begin{split} XAX^{-1}&=\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\frac{1}{ac}\begin{bmatrix} c & -b\\ 0 & a \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} a & ax+b\\ 0 & c \end{bmatrix}\frac{1}{ac}\begin{bmatrix} c & -b\\ 0 & a \end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{ac}\begin{bmatrix} a & ax+b\\ 0 & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c & -b\\ 0 & a \end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{ac}\begin{bmatrix} ac & a^{2}x\\ 0 & ca \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1 & \frac{ax}{c}\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\in \mathcal{TA} \end{split} \end{equation*}$

Berdasarkan SPC untuk subgrup normal, terbukti bahwa $\mathcal{TA}$ merupakan subgrup normal di $S_{2}(\mathbb{R})$ .

$\blacksquare$