Soal:
Diketahui $S_{2}(\R)=\left\{\begin{bmatrix}
a & b \\ 0 & c
\end{bmatrix}\mid ac\neq 0\right\}$ merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks. Buktikan bahwa $\mathcal{TA}=\left\{B=\begin{bmatrix}
1 & x\\ 0 & 1
\end{bmatrix}\mid x\in \mathbb{R}\right\}$ merupakan subgrup normal di $S_{2}(\R)$.
Solusi:
Untuk menyelesaikan soal di atas, yang pertama dilakukan adalah membuktikan himpunan $\mathcal{TA}$ merupakan subgrup di $S_{2}(\mathbb{R})$. Diambil sebarang $A=\begin{bmatrix}
1 & x\\ 0 & 1
\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}
1 & y\\ 0 & 1
\end{bmatrix}\in \mathcal{TA}$. Diperhatikan bahwa
$$AB^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & x\\ 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -y\\ 0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & x-y\\ 0 & 1
\end{bmatrix}\in \mathcal{TA}$$
Berdasarkan SPC untuk subgrup, terbukti bahwa $\mathcal{TA}$ subgrup di $G$.
Selanjutnya dibuktikan untuk sifat kenormalannya. Diambil sebarang $X=\begin{bmatrix}
a & b\\ 0 & c
\end{bmatrix}\in S_{2}(\mathbb{R}), A=\begin{bmatrix}
1 & x\\ 0 & 1
\end{bmatrix}\in \mathcal{TA}$. Diperhatikan bahwa
\begin{equation*}
\begin{split}
XAX^{-1}&=\begin{bmatrix}
a & b\\ 0 & c
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & x\\ 0 & 1
\end{bmatrix}\frac{1}{ac}\begin{bmatrix}
c & -b\\ 0 & a
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
a & ax+b\\ 0 & c
\end{bmatrix}\frac{1}{ac}\begin{bmatrix}
c & -b\\ 0 & a
\end{bmatrix}\\
&=\frac{1}{ac}\begin{bmatrix}
a & ax+b\\ 0 & c
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
c & -b\\ 0 & a
\end{bmatrix}\\
&=\frac{1}{ac}\begin{bmatrix}
ac & a^{2}x\\ 0 & ca
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
1 & \frac{ax}{c}\\ 0 & 1
\end{bmatrix}\in \mathcal{TA}
\end{split}
\end{equation*}
Berdasarkan SPC untuk subgrup normal, terbukti bahwa $\mathcal{TA}$ merupakan subgrup normal di $S_{2}(\mathbb{R})$.
$\blacksquare$