Misal diberikan grup $G$ dan himpunan bagian tak kosong $X\subseteq G$. Ada dua kemungkinan yang terjadi pada $X$, yaitu $X$ merupakan subgrup atau $X$ bukan subgrup.
Pertanyaan: Apakah selalu bisa ditemukan subgrup yang memuat $X$?
Jawaban dari pertanyaan tersebut adalah “Ya, selalu bisa. Subgrup yang memuat $X$ adalah $G$.”
Pertanyaan di atas tentu saja kurang menarik sebab jawabannya sangat trivial. Bagaimanakan jika pertanyaannya diganti menjadi seperti ini?
Pertanyaan: Apakah selalu bisa ditemukan subgrup \underline{terkecil} yang memuat $X$?
Maksud dari kata “terkecil” dalam pertanyaan tersebut adalah himpunan (subgrup) yang paling kecil relatif terhadap relasi urutan $\subseteq$. Untuk menjawab pertanyaan itu, perhatikan penjelasan berikut.
- Jika $X$ adalah subgrup, maka subgrup terkecil di $G$ yang memuat $X$ adalah subgrup $X$ itu sendiri.
- Jika $X$ bukan subgrup, maka kita selalu dapat menentukan subgrup terkecil di $G$ yang memuat $X$, yaitu dengan cara mengumpulkan semua subgrup di $G$ yang memuat $X$ dan selanjutnya memilih subgrup yang paling kecil di antara subgrup-subgrup tersebut. Cara memilih subgrup yang paling kecil tersebut dapat dilakukan dengan cara mengambil subgrup yang terbentuk dari irisan semua subgrup yang kita kumpulkan tadi. (Ingat: irisan dari subgrup-subgrup merupakan subgrup.)
Konstruksi Subgrup Terkecil di $G$ Yang Memuat $X$
- Dihimpun semua subgrup di $G$ yang memuat $X$, yaitu dibentuk himpunan
$$\mathcal{K}=\{H\subseteq G\mid H\text{ subgrup }, X\subseteq H\}.$$ - Iriskan semua subgrup di $\mathcal{K}$, yaitu $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H.$
Himpunan $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ merupakan subgrup terkecil di $G$ yang memuat $X$.
Pertanyaan Selanjutnya: Bagaimanakah bentuk anggota-anggota di dalam $\bigcap_{H\in\mathcal{K}}H$?
- $x\in \bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ untuk setiap $x\in X$, sebab $X\subseteq \bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$.
- $x^{-1}\in X$ untuk setiap $x\in X$, sebab $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ adalah subgrup.
Dengan demikian, $x^1=x$ dan $x^{-1}$ termuat di $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ untuk setiap $x\in X$. - Karena $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ adalah subgrup, diperoleh
$$
x_{1}^{t_{1}}x_{2}^{t_{2}}\cdots x_{n}^{t_{n}}
$$
termuat di $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$, untuk setiap $n\in\N$, $x_{i}\in X, \text{ dan }t_{i}=\pm 1, i=1,2,\cdots, n$.
Dibentuk himpunan $$A=\{x_{1}^{t_{1}}x_{2}^{t_{2}}\cdots x_{n}^{t_{n}}\mid n\in\N, x_{i}\in X, t_{i}=\pm 1, i=1,2,\cdots, n\}.$$
Dapat ditunjukkan bahwa $A=\bigcap_{H\in\mathcal{K}}H$, yaitu dengan menunjukkan:
- $A$ merupakan subgrup dari $G$
- $X\subseteq A$
- Subgrup $A$ merupakan yang terkecil di antara subgrup-subgrup dari $G$ yang memuat $X$, yaitu ditunjukkan untuk sebarang subgrup $T$ di $G$,
jika $X\subseteq T$ maka $A\subseteq T$.
| Definisi 1. Misalkan $G$ adalah grup dan $X$ adalah himpunan bagian dari $G$. Subgrup terkecil di $G$ yang memuat $X$ dinotasikan $\langle X\rangle$, yang juga disebut sebagai subgrup dari $G$ yang dibangun oleh $X$. |
Jadi, untuk $X\neq\emptyset$ diperoleh kesimpulan
$$\langle X\rangle=\{x_{1}^{t_{1}}x_{2}^{t_{2}}\cdots x_{n}^{t_{n}}\mid n\in\N, x_{i}\in X, t_{i}=\pm 1, i=1,2,\cdots, n\}.$$
Ada dua kemungkinan yang terjadi dengan $\langle X\rangle$ jika dibandingkan dengan himpunan $G$, yaitu $\langle X\rangle\neq G$ atau $\langle X\rangle = G$. Apabila yang terjadi $\langle X\rangle = G$, maka $X$ disebut himpunan pembangun (generator) dari grup $G$.
Contoh 2.
- Grup $(\Z_4,+)$ merupakan grup yang dibangun oleh $\{\overline{1}\}$, sebab
\begin{align*}
\overline{0} &= \overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}\\
\overline{1} &= \overline{1}\\
\overline{2} &= \overline{1}+\overline{1}\\
\overline{3} &= \overline{1}+\overline{1}+\overline{1}
\end{align*}
Jadi, $\Z_4 = \langle \overline{1}\rangle$. - Grup $(\Z_4,+)$ juga merupakan grup yang dibangun oleh $\{\overline{3}\}$, sebab
\begin{align*}
\overline{0} &= \overline{3}+\overline{3}^{-1}\\
\overline{1} &= \overline{3}+\overline{3}+\overline{3}\\
\overline{2} &= \overline{3}+\overline{3}\\
\overline{3} &= \overline{3}.
\end{align*}
Jadi, $\Z_4 = \langle \overline{3}\rangle$. - Diberikan grup
$$
V=\left\{A_1=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}, A_2=\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}, A_3=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}, A_4=\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}\right\}
$$
terhadap operasi perkalian matriks.\\
$\langle A_1\rangle = \{A_1\}$\\
$\langle A_2\rangle = \{A_2,A_1\}$\\
$\langle A_3\rangle = \{A_3,A_1\}$\\
$\langle A_4\rangle = \{A_4,A_1\}$\\
$\langle A_2,A_3\rangle = \{A_2,A_3,A_4,A_1\}=V$
Sebagai latihan, tentukan subgrup dari $(\Z,+)$:
- yang dibangun oleh $\{4\}$
- yang dibangun oleh $\{4,6\}$.