Subgrup: Suatu Grup Di Dalam Grup

Dalam teori grup, salah satu contoh grup yang sudah umum diketahui adalah himpunan semua bilangan bulat $\mathbb{Z}$ terhadap operasi penjumlahahan. Beberapa himpunan bagian tak kosong yang dimiliki himpunan $\mathbb{Z}$ diantaranya adalah himpunan $2\mathbb{Z}$ (himpunan semua bilangan genap) dan himpunan $2\mathbb{Z}+1$ (himpunan semua bilangan ganjil).

Kita perhatikan bahwa himpunan $2\mathbb{Z}$ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan sebab:

untuk setiap $a,b\in 2\mathbb{Z}$ berlaku $a+b\in 2\mathbb{Z}$ ;
untuk setiap $a,b,c\in 2\mathbb{Z}$ berlaku $(a+b)+c=a+(b+c)$ ;
terdapat $0\in 2\mathbb{Z}$ sehingga untuk setiap $a \in 2\mathbb{Z}$ berlaku $a+0=0+a=a$ ;
untuk setiap $a\in 2\mathbb{Z}$ terdapat $-a\in 2\mathbb{Z}$ sedemikian hingga berlaku
$a+(-a)=(-a)+a=0.$

Di lain pihak, himpunan $2\mathbb{Z}+1$ bukan grup terhadap operasi penjumlahan, sebab operasi penjumlahan tidak tertutup pada himpunan $2\mathbb{Z}+1$ (jumlahan dua bilangan ganjil hasilnya bukan bilangan ganjil). Dengan memperhatikan dua fenomena tersebut, suatu himpunan bagian tak kosong dari suatu grup dapat menjadi suatu grup atau bukan grup (terhadap operasi yang sama pada grupnya). Pada kasus himpunan bagian tak kosong tersebut merupakan grup, memotivasi didefinisikan pengertian subgrup.

Definisi 1. Diberikan himpunan bagian tak kosong $H$ dari grup $(G,*)$ . Himpunan $H$ disebut subgrup dari $G$ jika $H$ merupakan grup terhadap operasi yang sama pada $G$ , yaitu operasi $*$ .

Contoh 2. Berikut adalah contoh-contoh subgrup.

Mudah dipahami bahwa $2\Z$ merupakan subgrup dari grup $(\Z,+)$ . Secara umum, untuk setiap $n\in\Z^{\geq 0}$ , $n\Z$ merupakan subgrup dari grup $(\Z,+)$ .
Karena $(\Z,+)$ dan $(\R,+)$ keduanya merupakan grup dan $\Z\subset \R$ , maka $\Z$ merupakan subgrup dari grup $\R$ .
Himpunan semua matriks diagonal berukuran $2\times 2$ , yaitu $D=\left\{\begin{bmatrix}x & 0\\0 & y\end{bmatrix}\mid x,y\in\R\right\}$ , merupakan subgrup dari grup $(M_{2\times 2}(\R),+)$ .
Setiap grup $(G,*)$ selalu memuat subgrup, yaitu paling tidak memuat subgrup $\{e_{G}\}$ dan subgrup $G$ . Kedua subgrup itu disebut subgrup trivial.

Berdasarkan definisi di atas, untuk membuktikan suatu himpunan bagian tak kosong dari suatu grup merupakan subgrup, kita perlu mengecek 4 syarat yang harus dipenuhi, yaitu aksiom-aksioma grup. Jika diperhatikan lebih seksama, syarat berlakunya sifat assosiatif bisa kita abaikan karena sifat asosiatif otomatis diwariskan ke himpunan bagian. Dengan adanya fakta ini, diperoleh proposisi berikut ini.

Preposisi 3. Misalkan $G$ adalah grup dan $S$ adalah suatu himpunan tak kosong dari $G$ . Himpunan $S$ merupakan subgrup dari $G$ jika dan hanya jika pada $S$ dipenuhi sifat-sifat berikut:

untuk setiap $x,y\in S$ berlaku $x*y\in S$ ;
terdapat $e\in S$ sehingga untuk semua $x\in S$ berlaku $x*e=e*x=x$ ;
untuk setiap $x\in S$ terdapat $x^{-1}\in S$ sedemikian sehingga $x*x^{-1}=x^{-1}*x=e$ .

Berdasarkan proposisi di atas, jika $S$ merupakan subgrup $G$ maka berlaku untuk setiap $x,y\in S$ selalu memenuhi $xy^{-1}\in S$ . Apakah jika untuk setiap $x,y\in S$ maka berlaku $S$ merupakan subgrup G? Jawaban dari pertanyaan tersebut terdapat pada teorema (syarat perlu dan cukup) berikut ini.

Teorema 4. Diberikan grup $G$ dan himpunan bagian tak kosong $S$ dari $G$ . Himpunan $S$ merupakan subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $x,y\in S$ berlaku $xy^{-1}\in S$ .

Berikut adalah contoh penggunaan syarat perlu dan cukup untuk subgrup.

Contoh 5. Diketahui bahwa himpunan $M_{2\times 2}(\R)$ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan matriks. Buktikan bahwa himpunan matriks segitiga atas $T_{2\times 2}(\R)=\left\{\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}\mid a,b,c\in \mathbb{R}\right\}$ merupakan subgrup $(M_{2\times 2}(\R),+)$ .
Bukti.

Himpunan $T_{2\times 2}(\R)\neq \emptyset$ , sebab $\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\in T_{2\times 2}(\R)$ .
Diambil sebarang $=\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} x & y\\ 0 & z \end{bmatrix}\in T_{2\times 2}(\R)$ .
$\begin{equation*} A+B^{-1}=A-B=\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} x & y\\ 0 & z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a-x & b-y\\ 0 & c-z \end{bmatrix}\in T_{2\times 2}(\R) \end{equation*}$

Berdasarkan syarat perlu dan cukup subgrup, diperoleh kesimpulan bahwa himpunan $T_{2\times 2}(\R)$ merupakan subgrup dari $M_{2\times 2}(\R)$

$\blacksquare$