Kita perhatikan kembali bahwa pada artikel sebelumnya telah dibahas definisi grup yang merupakan abstraksi dari fenomena-fenomena yang kita temui dalam bermatematika di kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah fenomena dalam himpunan $\Z=\{\cdots, -3,-2.-1,0,1,2,3\cdots \}$ yang dilengkapi operasi penjumlahan $+$. Misal diberikan suatu grup $(G,*)$. Bagi para pembaca yang baru pertama kali belajar struktur aljabar, untuk mempelajari sifat-sifat elementer dari grup $(G,*)$ secara langsung nampaknya sulit sebab himpunan $G$ tersebut sifatnya abstrak, tidak diketahui secara pasti bentuk elemen-elemennya, apakah berupa bilangan, matriks, fungsi, atau yang lainnya. Mengingat munculnya definisi grup tersebut termotivasi dari $\Z$ yang dilengkapi operasi penjumlahan $+$, untuk mempelajari sifat-sifat elementer dari grup akan lebih mudah jika kita juga berangkat dari grup bilangan bulat $(\Z,+)$.
Kita perhatikan bahwa dalam grup bilangan bulat $(\Z,+)$ hanya terdapat satu elemen netral, yaitu $0$. Hal ini dapat juga kita katakan bahwa elemen netral dalam grup $\Z$ tunggal. Selain itu, kita perhatikan juga bahwa untuk setiap elemen di dalam grup $\Z$ mempunyai tepat satu elemen invers, sebagai contoh: invers $1$ adalah $-1$, tidak ada elemen lain selain $-1$ di $\Z$ yang merupakan invers dari 1. Pernyataan ini secara ringkas dapat kita katakan bahwa invers setiap elemen di dalam grup $\Z$ tunggal. Kedua sifat tersebut selanjutnya perlu kita lihat keberlakuannya pada sebarang grup $(G,*)$. Perhatikan lemma berikut.
Lemma. Jika $(G,*)$ merupakan grup, maka:
- elemen netral di dalam $(G,*)$ tunggal;
- invers setiap elemen dalam $(G,*)$ tunggal.
Bukti.
- Misal $e_1$ dan $e_2$ masing-masing adalah elemen netral di dalam grup $G$. Karena $e_1$ merupakan elemen netral dan $e_2$ adalah suatu elemen di $G$, diperoleh $e_1e_2=e_2$. Karena $e_2$ merupakan elemen netral dan $e_1$ adalah suatu elemen di $G$, diperoleh $e_1e_2=e_1$. Dengan demikian, diperoleh kesimpulan
$$
e_1=e_1e_2=e_2.
$$
Jadi, terbukti bahwa elemen netral di dalam grup $G$ tunggal. - Diambil sebarang $a$ di dalam $G$. Misal $b_1$ dan $b_2$ masing-masing adalah elemen di dalam $G$ yang merupakan invers dari elemen $a$. Hal ini berarti $b_1a=e_G$ dan $ab_2=e_G$. Perhatikan bahwa
\begin{align*}b_1 &= b_1e_G\\
&= b_1(ab_2)\\
&= (b_1a)b_2\\
&= e_G b_2\\
&= b_2,
\end{align*}
sehingga terbukti ketunggalan invers setiap elemen di dalam $G$. $\blacksquare$
Selanjutnya, apabila dipunyai $a,b\in G$, mudah kita pahami bahwa $a*b\in G$ dan $b^{-1}\in G$. Seperti apakah invers dari masing-masing elemen $a*b$ dan $b^{-1}$ tersebut? Perhatikan lemma berikut.
Lemma. Diberikan grup $(G,*)$.
- Jika $a,b \in G$ maka $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.
- Jika $a\in G$ maka $(a^{-1})^{-1}=a$.
Bukti.
- Diketahui $a,b\in G$. Akan ditunjukkan bahwa $b^{-1}*a^{-1}$ merupakan invers dari $a*b$.
Perhatikan bahwa
\begin{align*}
(b^{-1}*a^{-1})*(a*b) &\overset{\text{sifat asosiatif}}{=} b^{-1}*(a^{-1}*a)*b\\
&= b^{-1}*e_G*b\\
&= b^{-1}*b\\
&= e_G
\end{align*}
dan
\begin{align*}
(a*b)*(b^{-1}*a^{-1}) &\overset{\text{sifat asosiatif}}{=} a*(b*b^{-1})*a^{-1}\\
&= a*(e_G)*a^{-1}\\
&= a*a^{-1}\\
&= e_G.
\end{align*}
Jadi, terbukti bahwa $b^{-1}*a^{-1}$ merupakan invers dari $a*b$, atau dengan kata lain $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$. - Diketahui $a\in G$. Telah kita ketahui bahwa invers dari elemen $a$ dinotasikan $a^{-1}$. Hal ini berarti $a*a^{-1}=e_G=a^{-1}*a$. Dari persamaan tersebut, mudah dipahami bahwa $a$ merupakan invers dari elemen $a^{-1}$. Karena ketunggalan invers dari elemen di dalam grup dan $(a^{-1})^{-1}$ merupakan notasi untuk invers elemen $a^{-1}$, diperoleh kesimpulan bahwa $(a^{-1})^{-1}=a$. $\blacksquare$
Sifat lain yang perlu kita lihat pada grup $(\Z,+)$ adalah sifat kanselasi, yaitu untuk setiap $a,b,c\in\Z$, jika $a+c=b+c$ maka berakibat $a=b$. Ternyata sifat ini juga berlaku untuk sebarang grup $(G,*)$.
Teorema. Diberikan grup $(G,*)$ dan sebarang $a,b,c\in G$.
- Jika $a*c=b*c$ maka $a=b$. (kanselasi kanan)
- Jika $c*a=c*b$ maka $a=b$. (kanselasi kiri)