Perkalian Dua Subgrup – STRUKTUR ALJABAR

Jika $G$ adalah grup, dan $H,K$ masing-masing adalah subgrup di $G$ , maka dapat didefinisikan

$HK=\{hk\mid h\in H,k\in K\}.$

Secara umum, $HK$ belum tentu merupakan subgrupdari $G$ . Berikut ini diberikan syarat perlu dan cukup untuk $HK$ agar menjadi subgrup $G$ .

Teorema 1. Misalkan $H$ dan $K$ masing-masing adalah subgrup di grup $G$ . Himpunan $HK$ merupakan subgrup di $G$ jika dan hanya jika $HK=KH$ .

Bukti.

$(\Rightarrow)$ Diketahui $HK$ subgrup. Akan dibuktikan $HK=KH$ . Untuk sebarang $hk\in HK, (hk)^{-1}\in HK$ karena $HK$ subgrup. Dengan demikian $(hk)^{-1}=h_{0}k_{0}$ untuk suatu $h_{1}\in K$ dan $k_{1}\in K$ yang berakibat $hk=\big((hk)^{-1}\big)^{-1}=(k_{0}h_{0})^{-1}=k_{0}^{-1}h_{0}^{-1}\in KH$ karena $k_{0}^{-1}\in K$ dan $h_{0}^{-1}\in H$ . Dengan kata lain berlaku $HK\subseteq KH$ . Sebaliknya, untuk sebarang $kh\in KH, kh=\big(h^{-1}k^{-1}\big)^{-1}\in HK$ karena $HK$ subgrup. Dengan kata lain berlaku $KH\subseteq HK$ . Jadi terbukti bahwa $HK=KH$ .

$(\Leftarrow)$ Diketahui $HK=KH$ . Akan dibuktikan $HK$ subgrup $G$ . Untuk sebarang $hk, h_{1}k_{1}\in HK$ berlaku

$\begin{equation*} \begin{split} (hk)(h_{1}k_{1})^{-1}&=(hk)(k_{1}^{-1}h_{1}^{-1})\\ &=(hk)(h_{2}k_{2}), ~~~~~~~~~\text{karena}~HK=KH, h_{2}\in H, k_{2}\in K\\ &=h(kh_{2})k_{2}\\ &=h(h_{3}k_{3})k_{2},~~~~~~~~~\text{karena}~HK=KH, h_{3}\in H, k_{3}\in K\\ &=(hh_{4})(k_{3}k_{2})\\ &=h_{5}k_{5}\in HK, ~~~~~~~~~\text{untuk suatu}~h_{5}\in H, k_{5}\in K \end{split} \end{equation*}$

berdasarkan SPC untuk subgrup, terbukti bahwa $HK$ merupakan subgrup di $G$ .

$\blacksquare$

Akibat 2. Jika $H$ dan $K$ masing-masing adalah subgrup di grup komutatif $G$ , maka $HK$ adalah subgrup di $G$ .

Bukti. Karena $G$ merupakan grup komutatif, maka $HK=KH$ . Berdasarkan Teorema ?? diperoleh $HK$ subgrup di $G$ .

$\blacksquare$

Teorema 3. Misalkan $H$ dan $K$ masing-masing adalah subgrup di grup $G$ . Himpunan $HK$ merupakan subgrup di $G$ jika dan hanya jika $HK=\langle H\cup K\rangle$ .

Bukti.
$(\Leftarrow)$ Diketahui $HK= \langle H\cup K\rangle$ . Diperhatikan bahwa $HK$ merupakan subgrup di $G$ karena $HK=\langle H\cup K\rangle$ merupakan subgrup terkecil di $G$ yang memuat $H\cup K$ .
$(\Rightarrow)$ Diketahui $HK$ merupakan subgrup di $G$ . Dibuktikan bahwa $HK= \langle H\cup K\rangle$ . Pertama, dibuktikan bahwa $H\cup K\subseteq HK$ . Diambil sebarang $x\in H\cup K$ . Untuk $x\in H$ diperoleh bahwa $x=xe_{G}\in HK$ karena $x\in H$ dan $e_{G}\in K$ . Untuk $x\in K$ diperoleh bahwa $x=e_{G}x\in HK$ karena $e_{G}\in H$ dan $x\in K$ . Jadi, untuk sebarang $x\in H\cup K$ berlaku $x\in HK$ ,dengan kata lain terbukti $H\cup K\subseteq HK$ .
Selanjutnya dibuktikan bahwa $HK$ merupakan subgrup terkecil yang memuat $H\cup K$ . Diambil sebarang $M$ subgrup di $G$ dengan $M$ memuat $H\cup K$ . Diambil sebarang $x\in HK$ . Karena $x=HK$ , diperoleh bahwa $x=hk$ untuk suatu $h\in H$ dan $k\in K$ . Di lain pihak, karena $M$ memuat $H\cup K$ diperoleh bahwa $h\in M$ dan $k\in M$ . Karena $M$ subgrup di $G$ diperoleh $x=hk\in M$ . Jadi, untuk sebarang $x\in HK$ berlaku $x\in M$ , dengan kata lain maka terbukti $HK\subseteq M$ . Karena untuk sebarang $M$ subgrup di $G$ dengan $M$ memuat $H\cup K$ berlaku $HK\subseteq M$ , maka terbukti bahwa $HK$ merupakan subgrup terkecil yang memuat $H\cup K$ . Dengan demikian terbukti bahwa $HK=\langle H\cup K\rangle$ .

$\blacksquare$