Pembentukan Grup Faktor dan Pendefinisian Subgrup Normal

Misalkan diberikan grup G dan subgrup S di G. Untuk setiap g\in G, dapat dibentuk himpunan gS dan Sg dengan

    \begin{equation*} gS=\{gs\mid s\in S\}~\text{dan}~Sg=\{sg\mid s\in S\}. \end{equation*}

Selanjutnya dibentuk himpunan-himpunan berikut:

    \begin{equation*} \mathcal{G}_{R}=\{Sx\mid x\in G\}~\text{dan}~\mathcal{G}_{L}=\{xS\mid x\in G\} \end{equation*}

Lebih lanjut, elemen-elemen di \mathcal{G}_{R} dan \mathcal{G}_{L} berturut-turut disebut koset kanan dan koset kiri.

Pertanyaan: Apakah pada himpunan \mathcal{G}_{R} [himpunan \mathcal{G}_{L}] tersebut dapat didefinisikan operasi biner \hat{*}_{R} [operasi biner \hat{*}_{L}] sedemikian sehingga (\mathcal{G}_{R},\hat{*}_{R}) merupakan grup [(\mathcal{G}_{L},\hat{*}_{L}) merupakan grup)]?

Misal diambil sebarang dua koset kanan Sx dan Sy di \mathcal{G}_{R}. Untuk mengoperasikan kedua koset tersebut, cara yang paling mudah adalah dengan mendefinisikan

    \[Sx\ \hat{*}_{R}\ Sy\overset{def.}{=}S(xy).\]

Pertanyaan: Apakah operasi \hat{*}_{R} merupakan operasi biner pada himpunan \mathcal{G}_{R}?

Mudah dipahami bahwa operasi \hat{*}_{R} tertutup pada himpunan \mathcal{G}_{R}.
Misal diambil sebarang Sx_1,Sx_2,Sy_1,Sy_2\in\mathcal{G}_{R} dengan Sx_{1}=Sx_2 dan Sy_1=Sy_2, yang berarti x_1x_{2}^{-1}\in S dan y_{1}y_{2}^{-1}\in S. Karena x_{1}x_{2}^{-1}\in S dan y_{1}y_{2}^{-1}\in S, diperoleh x_{1}x_{2}^{-1}=s_1 dan y_{1}y_{2}^{-1}=s_2, untuk suatu s_{1},s_{2}\in S.
Operasi \hat{*}_{R} well-defined jika

    \begin{align*} Sx_1\hat{*}_{R} Sy_{1} = Sx_2\hat{*}_{R} Sy_{2} &\overset{def.}{\Leftrightarrow} Sx_{1}y_{1}=Sx_{2}y_{2}\\ &\Leftrightarrow x_{1}y_{1}(x_{2}y_{2})^{-1}\in S\\ &\Leftrightarrow x_{1}y_{1}y_{2}^{-1}x_{2}^{-1}\in S\\ &\Leftrightarrow x_{1}s_2 x_{2}^{-1}\in S \end{align*}

Jadi, operasi \hat{*}_{R} well-defined jika x_{1}s_2 x_{2}^{-1}\in S.

Perhatikan: s\in S dan x_{1}\in G, sehingga x_{1}s belum tentu merupakan anggota dari S. Lebih lanjut, x_{1}s_2 x_{2}^{-1} belum tentu merupakan anggota dari S.

Kesimpulan: Operasi \hat{*}_{R} belum tentu well-defined.

Jika G adalah grup komutatif, maka jelas berlaku x_{1}s_2 x_{2}^{-1}=x_{1}x_{2}^{-1}s_2 \in S sebab x_{1}x_{2}^{-1}\in S dan s_2 \in S. Akibatnya, jika G adalah grup komutatif, maka operasi \hat{*}_{R} well-defined. Akan tetapi syarat bahwa G harus grup komutatif dinilai sebagai syarat yang terlalu kuat. Berdasarkan fenomena di atas, memotifasi untuk mendefinisikan subgrup baru yang memenuhi kondisi supaya operasi \hat{*}_{R} well-defined.

Definisi 1. Misal S adalah subgrup dari grup G. Subgrup G disebut subgrup normal jika untuk setiap g\in G berlaku gS=Sg.

 

Syarat Perlu Dan Cukup Dari Subgrup Normal:

Teorema 2. Misalkan S adalah subgrup dari grup G. Subgrup S merupakan subgrup normal jika dan hanya jika untuk setiap g\in G berlaku gSg^{-1}\subseteq S.

Contoh 3. 

  1. Setiap subgrup dari grup komutatif merupakan subgrup normal.
  2. Mudah dipahami bahwa GL_{2}(\R)=\{A\in M_{2\times 2}(\R)\mid \det(A)\neq 0\} merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks, dan \mathcal{H}=\{B\in M_{2\times 2}(R)\mid \det(B)=1\} merupakan subgrup dari GL_{2}(\R). Dapat dibuktikan \mathcal{H} merupakan subgrup normal.
    Bukti. Diambil sebarang A\in GL_{2}(\R). Akan dibuktikan A\mathcal{H}A^{-1}\subseteq \mathcal{H}. Diambil sebarang B\in \mathcal{H}, berarti \det(B)=1. Akan ditunjukkan ABA^{-1}\in\mathcal{H}. Mudah dipahami

        \begin{equation*} \det(ABA^{-1})=\det(A)\det(B)\det(A^{-1})=\det(A)1\frac{1}{\det(A)}=1. \end{equation*}

    Jadi, ABA^{-1}\in\mathcal{H}. Berdasarkan SPC subgrup normal, berakibat \mathcal{H} merupakan subgrup normal. \blacksquare

 

Grup Faktor

Kita kembali ke pembahasan sebelumnya tentang pembentukan grup menggunakan himpunan \mathcal{G}_{R}=\{Sx\mid x\in G\} dan operasi \hat{*}_{R}. Misalkan dalam pembentukan grup tersebut diberi tambahan syarat pada subgrup S, yakni dimisalkan S adalah subgrup normal.

Perhatikan: Jika S adalah subgrup normal, s_{2}\in S, dan x_{1}\in G, maka berlaku x_{1}s_{2}\in x_{1}S=Sx_{1}, sehingga berakibat x_{1}s_{2}=s'x_{1} untuk suatu s'\in S. Dengan demikian, x_1 s_{2} x_{2}^{-1}=s'x_{1}x_{2}^{-1}=s's_{1}\in S.
Kesimpulan: Jika S adalah subgrup normal, maka dapat dijamin bahwa x_1 s_{2} x_{2}^{-1}\in S, yang ekuivalen mengatakan bahwa operasi \hat{*}_{R} well-defined.

Sebagai catatan, jika S adalah subgrup normal di G, maka jelas berlaku Sx=xS untuk setiap x\in G. Hal ini berakibat himpunan-himpunan \mathcal{G}_{R} sama dengan \mathcal{G}_{L} yang selanjutnya dinotasikan G/S, dan operasi \hat{*}_{R} sama dengan operasi \hat{*}_{L} dapat ditulis dengan notasi yang sama, yaitu \hat{*}.
Pertanyaan: Apakah himpunan G/S terhadap operasi biner \hat{*} merupakan grup?
Dibuktikan bahwa:

  1. operasi \hat{*} bersifat asosiatif;
    untuk sebarang aS,bS,cS\in G/S berlaku

        \begin{equation*} \begin{split} (aS\hat{*}bS)\hat{*}cS&=abS\hat{*}cS\\ &=(ab)cS\\ &=a(bc)S\\ &=aS\hat{*}bcS\\ &=aS\hat{*}(bS\hat{*}cS) \end{split} \end{equation*}

  2. adanya suatu elemen netral di G/S terhadap operasi \hat{*};
    terdapat e_{G}S\in G/S sehingga untuk setiap aS\in G\S berlaku

        \[e_{G}\hat{*}aS=e_{G}aS=aS=ae_{G}S=aS\hat{*}e_{G}S\]

  3. ntuk setiap elemen di G/S punya invers terhadap operasi \hat{*};
    untuk sebarang aS\in G/S terdapat a^{-1}S\in G/S sedemikian sehingga

        \[aS\hat{*}a^{-1}S=aa^{-1}S=e_{G}S~\text{dan}~a^{-1}S\hat{*}aS=a^{-1}aS=e_{G}S\]

Jadi, G/S terhadap operasi biner \hat{*} merupakan grup, yang selanjutnya dinotasikan

    \[G/S=\{xS\mid x\in G\}\]

dan disebut Grup Faktor dari G yang terbentuk oleh subgrup S.

Contoh 4. Misal diambil subgrup 3\Z di dalam grup (\Z,+). Jelas 3\Z adalah subgrup normal, sebab \Z adalah grup komutatif. Grup faktor yang terbentuk adalah

    \[\Z/3\Z=\{0+3\Z,1+3\Z,2+3\Z\}.\]

Secara umum, jika diambil subgrup n\Z di dalam grup \Z, maka grup faktor yang terbentuk adalah

    \[\Z/n\Z=\{0+n\Z,1+n\Z,\cdots,(n-1)+n\Z\}.\]