Misalkan diberikan grup $G$ dan subgrup $S$ di $G$. Untuk setiap $g\in G$, dapat dibentuk himpunan $gS$ dan $Sg$ dengan
\begin{equation*}
gS=\{gs\mid s\in S\}~\text{dan}~Sg=\{sg\mid s\in S\}.
\end{equation*}
Selanjutnya dibentuk himpunan-himpunan berikut:
\begin{equation*}
\mathcal{G}_{R}=\{Sx\mid x\in G\}~\text{dan}~\mathcal{G}_{L}=\{xS\mid x\in G\}
\end{equation*}
Lebih lanjut, elemen-elemen di $\mathcal{G}_{R}$ dan $\mathcal{G}_{L}$ berturut-turut disebut koset kanan dan koset kiri.
Pertanyaan: Apakah pada himpunan $\mathcal{G}_{R}$ [himpunan $\mathcal{G}_{L}$] tersebut dapat didefinisikan operasi biner $\hat{*}_{R}$ [operasi biner $\hat{*}_{L}$] sedemikian sehingga $(\mathcal{G}_{R},\hat{*}_{R})$ merupakan grup [$(\mathcal{G}_{L},\hat{*}_{L})$ merupakan grup)]?
Misal diambil sebarang dua koset kanan $Sx$ dan $Sy$ di $\mathcal{G}_{R}$. Untuk mengoperasikan kedua koset tersebut, cara yang paling mudah adalah dengan mendefinisikan
$$Sx\ \hat{*}_{R}\ Sy\overset{def.}{=}S(xy).$$
Pertanyaan: Apakah operasi $\hat{*}_{R}$ merupakan operasi biner pada himpunan $\mathcal{G}_{R}$?
Mudah dipahami bahwa operasi $\hat{*}_{R}$ tertutup pada himpunan $\mathcal{G}_{R}$.
Misal diambil sebarang $Sx_1,Sx_2,Sy_1,Sy_2\in\mathcal{G}_{R}$ dengan $Sx_{1}=Sx_2$ dan $Sy_1=Sy_2$, yang berarti $x_1x_{2}^{-1}\in S$ dan $y_{1}y_{2}^{-1}\in S$. Karena $x_{1}x_{2}^{-1}\in S$ dan $y_{1}y_{2}^{-1}\in S$, diperoleh $x_{1}x_{2}^{-1}=s_1$ dan $y_{1}y_{2}^{-1}=s_2$, untuk suatu $s_{1},s_{2}\in S$.
Operasi $\hat{*}_{R}$ well-defined jika
\begin{align*}
Sx_1\hat{*}_{R} Sy_{1} = Sx_2\hat{*}_{R} Sy_{2} &\overset{def.}{\Leftrightarrow} Sx_{1}y_{1}=Sx_{2}y_{2}\\
&\Leftrightarrow x_{1}y_{1}(x_{2}y_{2})^{-1}\in S\\
&\Leftrightarrow x_{1}y_{1}y_{2}^{-1}x_{2}^{-1}\in S\\
&\Leftrightarrow x_{1}s_2 x_{2}^{-1}\in S
\end{align*}
Jadi, operasi $\hat{*}_{R}$ well-defined jika $x_{1}s_2 x_{2}^{-1}\in S$.
Perhatikan: $s\in S$ dan $x_{1}\in G$, sehingga $x_{1}s$ belum tentu merupakan anggota dari $S$. Lebih lanjut, $x_{1}s_2 x_{2}^{-1}$ belum tentu merupakan anggota dari $S$.
Kesimpulan: Operasi $\hat{*}_{R}$ belum tentu well-defined.
Jika $G$ adalah grup komutatif, maka jelas berlaku $x_{1}s_2 x_{2}^{-1}=x_{1}x_{2}^{-1}s_2 \in S$ sebab $x_{1}x_{2}^{-1}\in S$ dan $s_2 \in S$. Akibatnya, jika $G$ adalah grup komutatif, maka operasi $\hat{*}_{R}$ well-defined. Akan tetapi syarat bahwa $G$ harus grup komutatif dinilai sebagai syarat yang terlalu kuat. Berdasarkan fenomena di atas, memotifasi untuk mendefinisikan subgrup baru yang memenuhi kondisi supaya operasi $\hat{*}_{R}$ well-defined.
| Definisi 1. Misal $S$ adalah subgrup dari grup $G$. Subgrup $G$ disebut subgrup normal jika untuk setiap $g\in G$ berlaku $gS=Sg$. |
Syarat Perlu Dan Cukup Dari Subgrup Normal:
| Teorema 2. Misalkan $S$ adalah subgrup dari grup $G$. Subgrup $S$ merupakan subgrup normal jika dan hanya jika untuk setiap $g\in G$ berlaku $gSg^{-1}\subseteq S$. |
Contoh 3.
- Setiap subgrup dari grup komutatif merupakan subgrup normal.
- Mudah dipahami bahwa $GL_{2}(\R)=\{A\in M_{2\times 2}(\R)\mid \det(A)\neq 0\}$ merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks, dan $\mathcal{H}=\{B\in M_{2\times 2}(R)\mid \det(B)=1\}$ merupakan subgrup dari $GL_{2}(\R)$. Dapat dibuktikan $\mathcal{H}$ merupakan subgrup normal.
Bukti. Diambil sebarang $A\in GL_{2}(\R)$. Akan dibuktikan $A\mathcal{H}A^{-1}\subseteq \mathcal{H}$. Diambil sebarang $B\in \mathcal{H}$, berarti $\det(B)=1$. Akan ditunjukkan $ABA^{-1}\in\mathcal{H}$. Mudah dipahami
\begin{equation*}
\det(ABA^{-1})=\det(A)\det(B)\det(A^{-1})=\det(A)1\frac{1}{\det(A)}=1.
\end{equation*} Jadi, $ABA^{-1}\in\mathcal{H}$. Berdasarkan SPC subgrup normal, berakibat $\mathcal{H}$ merupakan subgrup normal. $\blacksquare$
Grup Faktor
Kita kembali ke pembahasan sebelumnya tentang pembentukan grup menggunakan himpunan $\mathcal{G}_{R}=\{Sx\mid x\in G\}$ dan operasi $\hat{*}_{R}$. Misalkan dalam pembentukan grup tersebut diberi tambahan syarat pada subgrup $S$, yakni dimisalkan $S$ adalah subgrup normal.
Perhatikan: Jika $S$ adalah subgrup normal, $s_{2}\in S$, dan $x_{1}\in G$, maka berlaku $x_{1}s_{2}\in x_{1}S=Sx_{1}$, sehingga berakibat $x_{1}s_{2}=s’x_{1}$ untuk suatu $s’\in S$. Dengan demikian, $x_1 s_{2} x_{2}^{-1}=s’x_{1}x_{2}^{-1}=s’s_{1}\in S$.
Kesimpulan: Jika $S$ adalah subgrup normal, maka dapat dijamin bahwa $x_1 s_{2} x_{2}^{-1}\in S$, yang ekuivalen mengatakan bahwa operasi $\hat{*}_{R}$ well-defined.
Sebagai catatan, jika $S$ adalah subgrup normal di $G$, maka jelas berlaku $Sx=xS$ untuk setiap $x\in G$. Hal ini berakibat himpunan-himpunan $\mathcal{G}_{R}$ sama dengan $\mathcal{G}_{L}$ yang selanjutnya dinotasikan $G/S$, dan operasi $\hat{*}_{R}$ sama dengan operasi $\hat{*}_{L}$ dapat ditulis dengan notasi yang sama, yaitu $\hat{*}$.
Pertanyaan: Apakah himpunan $G/S$ terhadap operasi biner $\hat{*}$ merupakan grup?
Dibuktikan bahwa:
- operasi $\hat{*}$ bersifat asosiatif;
untuk sebarang $aS,bS,cS\in G/S$ berlaku
\begin{equation*}
\begin{split}
(aS\hat{*}bS)\hat{*}cS&=abS\hat{*}cS\\
&=(ab)cS\\
&=a(bc)S\\
&=aS\hat{*}bcS\\
&=aS\hat{*}(bS\hat{*}cS)
\end{split}
\end{equation*} - adanya suatu elemen netral di $G/S$ terhadap operasi $\hat{*}$;
terdapat $e_{G}S\in G/S$ sehingga untuk setiap $aS\in G\S$ berlaku
$$e_{G}\hat{*}aS=e_{G}aS=aS=ae_{G}S=aS\hat{*}e_{G}S$$ - ntuk setiap elemen di $G/S$ punya invers terhadap operasi $\hat{*}$;
untuk sebarang $aS\in G/S$ terdapat $a^{-1}S\in G/S$ sedemikian sehingga
$$aS\hat{*}a^{-1}S=aa^{-1}S=e_{G}S~\text{dan}~a^{-1}S\hat{*}aS=a^{-1}aS=e_{G}S$$
Jadi, $G/S$ terhadap operasi biner $\hat{*}$ merupakan grup, yang selanjutnya dinotasikan
$$G/S=\{xS\mid x\in G\}$$
dan disebut Grup Faktor dari $G$ yang terbentuk oleh subgrup $S$.
Contoh 4. Misal diambil subgrup $3\Z$ di dalam grup $(\Z,+)$. Jelas $3\Z$ adalah subgrup normal, sebab $\Z$ adalah grup komutatif. Grup faktor yang terbentuk adalah $$\Z/3\Z=\{0+3\Z,1+3\Z,2+3\Z\}.$$
Secara umum, jika diambil subgrup $n\Z$ di dalam grup $\Z$, maka grup faktor yang terbentuk adalah
$$\Z/n\Z=\{0+n\Z,1+n\Z,\cdots,(n-1)+n\Z\}.$$