Koset – STRUKTUR ALJABAR

Pendefinisian “koset” sangat berkaitan dengan materi “Subgrup Normal dan Grup Faktor” (lihat di sini). Definisi koset muncul dalam proses pembentukan Grup Faktor dengan bermodalkan suatu grup dan suatu subgrupnya.

Misal diberikan grup $G$ dan subgrup $H$ di dalam grup $G$ . Dengan bermodalkan dua hal tersebut, misal akan dibentuk suatu grup yang baru. Kita ingat kembali bahwa untuk membentuk grup, “bahan” yang diperlukan ada dua, yaitu suatu himpunan tak kosong dan suatu operasi biner pada himpunan tersebut. Salah satu ide untuk membuat suatu himpunan baru dengan bermodalkan grup $G$ dan subgrup $H$ tersebut adalah dengan cara mempartisi himpunan $G$ menggunakan suatu relasi ekuivalensi. Dengan demikian, kita akan memperoleh partisi dari $G$ (himpunan semua kelas ekuivalensi).

Dengan menggunakan ide seperti yang telah dijelaskan di atas, sekarang kita akan mempraktikkannya sebagai berikut. Misal diberikan grup $(G,*)$ dan subgrup $H$ di dalam $G$ . Pada himpunan $G$ , didefi\-nisikan relasi $\thicksim_{R}$ dan relasi $\thicksim_{L}$ , yaitu untuk setiap $x,y\in G$ ,

$x\thicksim_{R} y\ \ \overset{def.}{\Leftrightarrow}\ \ x*y^{-1}\in H$

dan

$x\thicksim_{L} y\ \ \overset{def.}{\Leftrightarrow}\ \ y^{-1}*x\in H.$

Dapat dibuktikan bahwa relasi $\thicksim_{R}$ merupakan relasi ekui\-valensi pada $G$ , yakni perlu ditunjukkan:

$(\forall x\in G)$ $x\thicksim_{R} x$ (sifat refleksif)
$(\forall x,y\in G)$ $x\thicksim_{R} y \Rightarrow y\thicksim_{R} x$ (sifat simetris)
$(\forall x,y,z\in G)$ $[(x\thicksim_{R} y) \wedge (y\thicksim_{R}z)] \Rightarrow (x\thicksim_{R} z)$ . (sifat transitif)

(Secara analog, dapat dibuktikan juga bahwa relasi $\thicksim_{L}$ merupakan relasi ekuivalensi pada $G$ .)

Akibat Relasi Ekuivalensi $\thicksim_{R}$ Pada $G$ :

Himpunan $G$ terpartisi menjadi kelas-kelas ekuivalensi oleh relasi $\thicksim_{R}$ . Misalkan $a$ adalah elemen di $G$ . Kelas ekuivalensi yang memuat $a$ adalah

$\begin{align*} [a]_{R} &= \{g\in G\mid g\thicksim_{R} a\}\\ &= \{g\in G\mid g*a^{-1}\in H\}\\ &= \{g\in G\mid g*a^{-1}=h,\text{ untuk suatu }h\in H\}\\ &= \{g\in G\mid g=h*a,\text{ untuk suatu }h\in H\}\\ %[a]_{R} &= .......................................................= .......................................................\\ % &= .......................................................= .......................................................\\ &= \{h*a\mid h\in H\}\overset{def.}{=}H*a. \end{align*}$

Selanjutnya, himpunan $H*a=\{h*a\mid h\in H\}$ (atau cukup ditulis $Ha$ ) disebut koset kanan dari $H$ , dan elemen $a$ disebut representatif dari $Ha$ .

Penting untuk dipahami dan diingat:

Kelas ekuivalensi $[x]_{R}$ sama dengan kelas ekuivalensi $[y]_{R}$ jika dan hanya jika $x\thicksim_{R} y$ . Dengan demikian, diperoleh

$Hx=Hy\ \ \Leftrightarrow\ \ x\thicksim_{R} y\ \ \Leftrightarrow\ \ xy^{-1}\in H.$

Akibat Relasi Ekuivalensi $\thicksim_{L}$ Pada $G$ :

Himpunan $G$ terpartisi menjadi kelas-kelas ekuivalensi oleh relasi $\thicksim_{L}$ . Misalkan $a$ adalah elemen di $G$ . Kelas ekuivalensi yang memuat $a$ adalah

$\begin{align*} [a]_{L} &= .......................................................= .......................................................\\ &= .......................................................= .......................................................\\ &= \{a*h\mid h\in H\}\overset{def.}{=}a*H. \end{align*}$

Selanjutnya, himpunan $a*H=\{a*h\mid h\in H\}$ (atau cukup ditulis $aH$ ) disebut koset kiri dari $H$ , dan elemen $a$ disebut representatif dari $aH$ .

Penting untuk dipahami dan diingat:

Kelas ekuivalensi $[x]_{L}$ sama dengan kelas ekuivalensi $[y]_{L}$ jika dan hanya jika $x\thicksim_{L} y$ . Dengan demikian, diperoleh

$xH=yH\ \ \Leftrightarrow\ \ x\thicksim_{L} y\ \ \Leftrightarrow\ \ y^{-1}x\in H.$

Selanjutnya, kita himpun semua koset kanan dari $H$ yang terbentuk, yaitu dibentuk himpunan

$\mathcal{G}_{R}=\{Hx\mid x\in G\}.$

\noindent Hal serupa juga dilakukan untuk koset kiri dari $H$ , yaitu dibentuk himpunan

$\mathcal{G}_{L}=\{xH\mid x\in G\}.$

Kedua himpunan inilah yang akan digunakan membentuk grup. Walaupun diperoleh dua himpunan, pada pembentukan grup faktor (lihat di sini) menggunakan himpunan-himpunan tersebut, ternyata grup yang diperoleh hanya satu saja.

Contoh 1. Misal diambil contoh subgrup $3\Z$ di dalam grup $(\Z,+)$ . Koset-koset kiri dari $3\Z$ yang terbentuk ada tiga, yaitu $0+3\Z$ , $1+3\Z$ , dan $2+3\Z$ . Kita dapat mengecek bahwa $\Z=(0+3\Z)\cup (1+3\Z)\cup (2+3\Z)$ dan ketiga koset tersebut tidak saling beririsan.
Oleh karena itu, tampak bahwa $\Z$ terpartisi menjadi tiga kelas-kelas ekuivalensi (koset kiri), yaitu $0+3\Z$ , $1+3\Z$ , dan $2+3\Z$ .

Latihan:

Apakah $7+3\Z=1+3\Z$ ? Berikan alasannya.