Grup Siklik, Suatu Grup Yang Dibangun Oleh Suatu Elemen

Dingat kembali definisi subgrup yang dibangun oleh suatu himpunan, yakni jika $G$ grup dan $X$ himpunan bagian dari $G$ maka subgrup di $G$ yang dibangun oleh $X$ adalah $\langle X\rangle$ .

Khusus untuk $X\neq \emptyset$ , diperoleh

$\langle X\rangle=\{x_{1}^{t_{1}}x_{2}^{t_{2}}\cdots x_{n}^{t_{n}}\mid x_{i}\in X, t_{i}=\pm 1, n\in\N, i=1,2,\cdots, n\}.$

Khusus untuk $X=\{x\}$ , diperoleh

$\langle X\rangle=\{x^{n}\mid n\in \mathbb{Z},~\text{dengan}~x^{0}\overset{def}{=}e_{G}\}$

Pada kasus $X=\{x\}$ , jika $\langle X\rangle=G$ , grup $G$ disebut grup siklik, yakni grup yang dibangun oleh suatu elemen.

Contoh 1. Berikut ini beberapa contoh grup yang merupakan grup siklik dan bukan.

Grup $(\mathbb{Z},+)$ merupakan grup siklik karena $\mathbb{Z}=\langle 1\rangle=\langle-1\rangle$ .
Grup $H=\{1,-1,i,-i\mid i^{2}=-1\}$ terhadap operasi perkalian merupakan grup siklik karena $H=\langle i\rangle$ .
Grup bilangan modulo $n$ terhadap operasi penjumlahan, yakni $\mathbb{Z}_{n}=\{\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{n-1}\}$ merupakan grup siklik karena $\mathbb{Z}_{n}=\langle \overline{1}\rangle$ .
Grup $(M_{2\times 2})(\mathbb{R}),+)$ bukan merupakan grup siklik.