Pada artikel sebelumnya (link Definisi Grup), “grup” merupakan merupakan suatu struktur yang merupakan suatu bentuk abstraksi dari kejadian yang kita temui pada himpunan bilangan bulat $\Z$ terhadap operasi penjumlahan $+$. Secara ringkas, grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi suatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma tertentu. Ada banyak contoh grup yang dapat kita temukan dalam kehidupan sehari-hari, misal: grup $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$, $(M_{2\times 2}(\mathbb{R}),+)$, dan lain sebagainya. Namun kenyataannya ada banyak himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma tertentu. Sebagai contoh, kita perhatikan himpunan $\Z$ dilengkapi operasi penjumlahan $+$ dan operasi perkalian $\cdot$.
Telah kita ketahui bahwa terhadap operasi penjumlahan $+$ dan perkalian $\cdot$, himpunan bilangan bulat $\mathbb{Z}$ bersifat:
- terhadap penjumlahan $+$: ($\mathbb{Z}$,+) merupakan grup abelian
- terhadap perkalian $\cdot$}: $\mathbb{Z}$ bersifat assosiatif
$$(\forall a,b,c \in \mathbb{Z})(a \cdot b)\cdot c=a \cdot(b\cdotc)$$ - terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): $\mathbb{Z}$ bersifat distributif kiri dan distributif kanan
$\circ$ $(\forall a, b, c \in \mathbb{Z})c \cdot(a + b)=(c \cdot a)+(c \cdot b)$. $\circ$ $(\forall a, b, c \in \mathbb{Z})(a + b)\cdot c=(a \cdot c)+(b \cdot c)$
Dari fenomena sifat himpunan $\mathbb{Z}$ terhadap penjumlahan $+$
dan perkalian $\cdot$ yang telah dijelaskan di atas, didefiniskan struktur abstrak yang disebut ring sebagai berikut.
| Definisi 1. Misalkan $R$ adalah sebarang himpunan tak kosong, dan pada $R$ didefinisikan dua operasi biner yang dinotasikan dengan $+$ dan $\cdot$ dan yang selanjutnya disebut operasi penjumlahan dan perkalian. Himpunan $R$ disebut ring terhadap operasi penjumlahan $+$ dan perkalian $\cdot$ jika:
|
Agar lebih efisien dalam penulisan, ring $R$ terhadap operasi penjumlahan $+$ dan perkalian $\cdot$ dinotasikan ($R,+,\cdot$). Nampak jelas bahwa definisi ring merupakan abstraksi dari suatu objek beserta sifat-sifatnya terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, yakni himpunan bilangan bulat $\mathbb{Z}$ terhadap penjumlahan dan perkalian. Dengan demikian, $\mathbb{Z}$ merupakan contoh ring terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian, dan ditulis ($\mathbb{Z},+,\cdot$).
Berikut contoh-contoh yang lain:
- Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional $\mathbb{Q}$, himpunan bilangan real $\mathbb{R}$, dan himpunan bilangan kompleks $\mathbb{C}$ juga merupakan ring terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan yang sudah kita kenal sehari-hari. Oleh karena itu, dapat dituliskan dengan notasi$\circ$ Ring ($\mathbb{Q},+,\cdot$), $\circ$ Ring ($\mathbb{R},+,\cdot$), $\circ$ Ring ($\mathbb{C},+,\cdot$). Namun himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ bukan merupakan ring sebab terhadap penjumlahan bukan merupakan grup.
- Pandang himpunan matriks bujursangkar berukuran $2 \times 2$ dengan komponen-komponen bilangan real, yakni
\[
M_{2 \times 2}(\mathbb{R})=\left\{
\begin{bmatrix}
a_{11} &
a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\mid a_{ij} \in \mathbb{R},
i,j=1,2
\right\}.
\]
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian matriks, dapat ditunjukkan bahwa $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.Selanjutnya untuk setiap bilangan asli $n$, dapat ditunjukkan bahwa
\[
M_{n\times n}(\mathbb{R})=\left\{\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}\mid a_{ij} \in
\mathbb{R}\right\}.
\]
merupakan ring terhadap operasi terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Proses memperluas dari $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ ke $M_{n\times n}(\mathbb{R})$ merupakan salah contoh proses generalisasi. - Pandang himpunan semua fungsi dari $\mathbb{R}$ ke $\mathbb{R}$ sebagai berikut
\[
F(\mathbb{R},\mathbb{R})=\{f: \mathbb{R} \rightarrow
\mathbb{R}\mid f \; \text{fungsi}\}.
\]
Dari Kalkulus, kita dapat mendefinisikan operasi penjumlahan fungsi dan juga perkalian fungsi sebagai berikut. Untuk sebarang $f, g \in F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ didefi\-nisikan $f+g$ dan $f\cdot g$
sebagai berikut:
\[
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
\]
dan
\[
(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)
\]
untuk setiap $x\in \mathbb{R}$.
Dengan menggunakan sifat-sifat dalam kalkulus, dapat ditunjukkan bahwa $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ merupakan ring. - Diberikan himpunan kuasa dari $A$, yaitu himpunan semua himpunan bagian $A$, yang dinotasikan
\[
2^A=\{S \mid S \subseteq A\}.
\]
Dapat ditunjukkan bahwa $(2^A, +, \cdot)$ merupakan ring, dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan sebagai berikut:
\[
(\forall S_1, S_2 \in 2^A) S_1+ S_2=(S_1-S_2)\cup (S_2-S_1)
\]
dan
\[
(\forall S_1, S_2 \in 2^A) S_1\cdot S_2=S_1\cap S_2
\]