Diperhatikan himpunan bilangan bulat modulo $n$:
$$\mathbb{Z}_{n}=\{\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{n-1}\}.$$
Diingat kembali bahwa untuk setiap $\overline{a},\overline{b}\in \mathbb{Z}_{n}$, $\overline{a}=\overline{b}$ jika dan hanya jika $a-b=kn$ untuk suatu bilangan bulat $k$. Selanjutnya didefinisikan operasi penjumlahan $+_{n}$ dengan definisi:
$$\overline{a}+_{n}\overline{b}\overset{def.}{=}\overline{a+b}$$
untuk setiap $\overline{a},\overline{b} \in \mathbb{Z}_{n}$. Berdasarkan pendefinisian operasi $+_{n}$ tersebut, diperoleh bahwa operasi $+_{n}$ merupakan operasi biner. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa $\mathbb{Z}_{n}$ merupakan grup.
Diperhatikan hal-hal berikut:
- Untuk setiap $\overline{a},\overline{b},\overline{c}\in \mathbb{Z}_{n}$ berlaku $\left(\overline{a}+_{n}\overline{b}\right)+_{n}\overline{c}=\overline{a}+_{n}\left(\overline{b}+_{n}\overline{c}\right)$.
Diambil sebarang $\overline{a},\overline{b},\overline{c}\in \mathbb{Z}_{n}$, berlaku
\begin{equation*}
\begin{split}
\left(\overline{a}+_{n}\overline{b}\right)+_{n}\overline{c}&=\overline{a+b}+_{n}\overline{c}\\
&=\overline{(a+b)+c}\\
&=\overline{a+(b+c)}\\
&=\overline{a}+_{n}\overline{b+c}\\
&=\overline{a}+_{n}\left(\overline{b}+_{n}\overline{c}\right)
\end{split}
\end{equation*} - Terdapat $\overline{0}\in \mathbb{Z}_{n}$ sehingga untuk setiap $\overline{a}\in \mathbb{Z}_{n}$ berlaku $\overline{0}+_{n}\overline{a}=\overline{a}=\overline{a}+_{n}\overline{0}$.
Diambil sebarang $\overline{a}\in \mathbb{Z}_{n}$, berlaku
$$\overline{0}+_{n}\overline{a}=\overline{0+a}=\overline{a}~\text{dan}~\overline{a}+_{n}\overline{0}=\overline{0+a}=\overline{a}.$$ - Untuk setiap $\overline{a}\in \mathbb{Z}_{n}$ terdapat $\overline{-a}\in \mathbb{Z}_{n}$ sehingga $\overline{a}+_{n}\overline{-a}=\overline{0}=\overline{-a}+_{n}\overline{a}$.
Diambil sebarang $\overline{a}\in \mathbb{Z}_{n}$, jelas bahwa $\overline{-a}\in \mathbb{Z}_{n}$ dan berlaku
$$\overline{a}+_{n}\overline{-a}=\overline{a+(-a)}=\overline{0}~\text{dan}~\overline{-a}+_{n}\overline{a}=\overline{-a+a}=\overline{0}.$$
Berdasarkan (1),(2), dan (3), himpunan $\mathbb{Z}_{n}$ merupakan grup terhadap operasi $+_{n}$, lebih lanjut grup $(\mathbb{Z}_{n},+_{n})$ dikenal dengan grup bilangan bulat modulo n.