Bilangan Bulat Modulo n: Suatu Contoh Grup

Diperhatikan himpunan bilangan bulat modulo $n$ :

$\mathbb{Z}_{n}=\{\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{n-1}\}.$

Diingat kembali bahwa untuk setiap $\overline{a},\overline{b}\in \mathbb{Z}_{n}$ , $\overline{a}=\overline{b}$ jika dan hanya jika $a-b=kn$ untuk suatu bilangan bulat $k$ . Selanjutnya didefinisikan operasi penjumlahan $+_{n}$ dengan definisi:

$\overline{a}+_{n}\overline{b}\overset{def.}{=}\overline{a+b}$

untuk setiap $\overline{a},\overline{b} \in \mathbb{Z}_{n}$ . Berdasarkan pendefinisian operasi $+_{n}$ tersebut, diperoleh bahwa operasi $+_{n}$ merupakan operasi biner. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa $\mathbb{Z}_{n}$ merupakan grup.

Diperhatikan hal-hal berikut:

Untuk setiap $\overline{a},\overline{b},\overline{c}\in \mathbb{Z}_{n}$ berlaku $\left(\overline{a}+_{n}\overline{b}\right)+_{n}\overline{c}=\overline{a}+_{n}\left(\overline{b}+_{n}\overline{c}\right)$ .
Diambil sebarang $\overline{a},\overline{b},\overline{c}\in \mathbb{Z}_{n}$ , berlaku

$\begin{equation*} \begin{split} \left(\overline{a}+_{n}\overline{b}\right)+_{n}\overline{c}&=\overline{a+b}+_{n}\overline{c}\\ &=\overline{(a+b)+c}\\ &=\overline{a+(b+c)}\\ &=\overline{a}+_{n}\overline{b+c}\\ &=\overline{a}+_{n}\left(\overline{b}+_{n}\overline{c}\right) \end{split} \end{equation*}$
Terdapat $\overline{0}\in \mathbb{Z}_{n}$ sehingga untuk setiap $\overline{a}\in \mathbb{Z}_{n}$ berlaku $\overline{0}+_{n}\overline{a}=\overline{a}=\overline{a}+_{n}\overline{0}$ .
Diambil sebarang $\overline{a}\in \mathbb{Z}_{n}$ , berlaku

$\overline{0}+_{n}\overline{a}=\overline{0+a}=\overline{a}~\text{dan}~\overline{a}+_{n}\overline{0}=\overline{0+a}=\overline{a}.$
Untuk setiap $\overline{a}\in \mathbb{Z}_{n}$ terdapat $\overline{-a}\in \mathbb{Z}_{n}$ sehingga $\overline{a}+_{n}\overline{-a}=\overline{0}=\overline{-a}+_{n}\overline{a}$ .
Diambil sebarang $\overline{a}\in \mathbb{Z}_{n}$ , jelas bahwa $\overline{-a}\in \mathbb{Z}_{n}$ dan berlaku

$\overline{a}+_{n}\overline{-a}=\overline{a+(-a)}=\overline{0}~\text{dan}~\overline{-a}+_{n}\overline{a}=\overline{-a+a}=\overline{0}.$

Berdasarkan (1),(2), dan (3), himpunan $\mathbb{Z}_{n}$ merupakan grup terhadap operasi $+_{n}$ , lebih lanjut grup $(\mathbb{Z}_{n},+_{n})$ dikenal dengan grup bilangan bulat modulo n.