Subgrup Yang Dibangun Oleh Suatu Himpunan

Misal diberikan grup $G$ dan himpunan bagian tak kosong $X\subseteq G$ . Ada dua kemungkinan yang terjadi pada $X$ , yaitu $X$ merupakan subgrup atau $X$ bukan subgrup.
Pertanyaan: Apakah selalu bisa ditemukan subgrup yang memuat $X$ ?
Jawaban dari pertanyaan tersebut adalah “Ya, selalu bisa. Subgrup yang memuat $X$ adalah $G$ .”

Pertanyaan di atas tentu saja kurang menarik sebab jawabannya sangat trivial. Bagaimanakan jika pertanyaannya diganti menjadi seperti ini?
Pertanyaan: Apakah selalu bisa ditemukan subgrup \underline{terkecil} yang memuat $X$ ?
Maksud dari kata “terkecil” dalam pertanyaan tersebut adalah himpunan (subgrup) yang paling kecil relatif terhadap relasi urutan $\subseteq$ . Untuk menjawab pertanyaan itu, perhatikan penjelasan berikut.

Jika $X$ adalah subgrup, maka subgrup terkecil di $G$ yang memuat $X$ adalah subgrup $X$ itu sendiri.
Jika $X$ bukan subgrup, maka kita selalu dapat menentukan subgrup terkecil di $G$ yang memuat $X$ , yaitu dengan cara mengumpulkan semua subgrup di $G$ yang memuat $X$ dan selanjutnya memilih subgrup yang paling kecil di antara subgrup-subgrup tersebut. Cara memilih subgrup yang paling kecil tersebut dapat dilakukan dengan cara mengambil subgrup yang terbentuk dari irisan semua subgrup yang kita kumpulkan tadi. (Ingat: irisan dari subgrup-subgrup merupakan subgrup.)

Konstruksi Subgrup Terkecil di $G$ Yang Memuat $X$

Dihimpun semua subgrup di $G$ yang memuat $X$ , yaitu dibentuk himpunan
$\mathcal{K}=\{H\subseteq G\mid H\text{ subgrup }, X\subseteq H\}.$
Iriskan semua subgrup di $\mathcal{K}$ , yaitu $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H.$
Himpunan $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ merupakan subgrup terkecil di $G$ yang memuat $X$ .

Pertanyaan Selanjutnya: Bagaimanakah bentuk anggota-anggota di dalam $\bigcap_{H\in\mathcal{K}}H$ ?

$x\in \bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ untuk setiap $x\in X$ , sebab $X\subseteq \bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ .
$x^{-1}\in X$ untuk setiap $x\in X$ , sebab $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ adalah subgrup.
Dengan demikian, $x^1=x$ dan $x^{-1}$ termuat di $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ untuk setiap $x\in X$ .
Karena $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ adalah subgrup, diperoleh
$x_{1}^{t_{1}}x_{2}^{t_{2}}\cdots x_{n}^{t_{n}}$

termuat di $\bigcap\limits_{H\in\mathcal{K}}H$ , untuk setiap $n\in\N$ , $x_{i}\in X, \text{ dan }t_{i}=\pm 1, i=1,2,\cdots, n$ .

Dibentuk himpunan

$A=\{x_{1}^{t_{1}}x_{2}^{t_{2}}\cdots x_{n}^{t_{n}}\mid n\in\N, x_{i}\in X, t_{i}=\pm 1, i=1,2,\cdots, n\}.$

Dapat ditunjukkan bahwa $A=\bigcap_{H\in\mathcal{K}}H$ , yaitu dengan menunjukkan:

$A$ merupakan subgrup dari $G$
$X\subseteq A$
Subgrup $A$ merupakan yang terkecil di antara subgrup-subgrup dari $G$ yang memuat $X$ , yaitu ditunjukkan untuk sebarang subgrup $T$ di $G$ ,

jika $X\subseteq T$ maka $A\subseteq T$ .

Definisi 1. Misalkan $G$ adalah grup dan $X$ adalah himpunan bagian dari $G$ .
Subgrup terkecil di $G$ yang memuat $X$ dinotasikan $\langle X\rangle$ , yang juga disebut sebagai subgrup dari $G$ yang dibangun oleh $X$ .

Jadi, untuk $X\neq\emptyset$ diperoleh kesimpulan

$\langle X\rangle=\{x_{1}^{t_{1}}x_{2}^{t_{2}}\cdots x_{n}^{t_{n}}\mid n\in\N, x_{i}\in X, t_{i}=\pm 1, i=1,2,\cdots, n\}.$

Ada dua kemungkinan yang terjadi dengan $\langle X\rangle$ jika dibandingkan dengan himpunan $G$ , yaitu $\langle X\rangle\neq G$ atau $\langle X\rangle = G$ . Apabila yang terjadi $\langle X\rangle = G$ , maka $X$ disebut himpunan pembangun (generator) dari grup $G$ .

Contoh 2.

Grup $(\Z_4,+)$ merupakan grup yang dibangun oleh $\{\overline{1}\}$ , sebab
$\begin{align*} \overline{0} &= \overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}\\ \overline{1} &= \overline{1}\\ \overline{2} &= \overline{1}+\overline{1}\\ \overline{3} &= \overline{1}+\overline{1}+\overline{1} \end{align*}$

Jadi, $\Z_4 = \langle \overline{1}\rangle$ .
Grup $(\Z_4,+)$ juga merupakan grup yang dibangun oleh $\{\overline{3}\}$ , sebab
$\begin{align*} \overline{0} &= \overline{3}+\overline{3}^{-1}\\ \overline{1} &= \overline{3}+\overline{3}+\overline{3}\\ \overline{2} &= \overline{3}+\overline{3}\\ \overline{3} &= \overline{3}. \end{align*}$

Jadi, $\Z_4 = \langle \overline{3}\rangle$ .
Diberikan grup
$V=\left\{A_1=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}, A_2=\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}, A_3=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}, A_4=\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}\right\}$

terhadap operasi perkalian matriks.\\
$\langle A_1\rangle = \{A_1\}$ \\
$\langle A_2\rangle = \{A_2,A_1\}$ \\
$\langle A_3\rangle = \{A_3,A_1\}$ \\
$\langle A_4\rangle = \{A_4,A_1\}$ \\
$\langle A_2,A_3\rangle = \{A_2,A_3,A_4,A_1\}=V$

Sebagai latihan, tentukan subgrup dari $(\Z,+)$ :

yang dibangun oleh $\{4\}$
yang dibangun oleh $\{4,6\}$ .