Definisi Ring: Suatu Bentuk Abstraksi Dari Suatu Sistem Tertentu

Pada artikel sebelumnya (link Definisi Grup), “grup” merupakan merupakan suatu struktur yang merupakan suatu bentuk abstraksi dari kejadian yang kita temui pada himpunan bilangan bulat $\Z$ terhadap operasi penjumlahan $+$ . Secara ringkas, grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi suatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma tertentu. Ada banyak contoh grup yang dapat kita temukan dalam kehidupan sehari-hari, misal: grup $(\mathbb{Z},+)$ , $(\mathbb{Q},+)$ , $(\mathbb{R},+)$ , $(M_{2\times 2}(\mathbb{R}),+)$ , dan lain sebagainya. Namun kenyataannya ada banyak himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma tertentu. Sebagai contoh, kita perhatikan himpunan $\Z$ dilengkapi operasi penjumlahan $+$ dan operasi perkalian $\cdot$ .

Telah kita ketahui bahwa terhadap operasi penjumlahan $+$ dan perkalian $\cdot$ , himpunan bilangan bulat $\mathbb{Z}$ bersifat:

terhadap penjumlahan $+$ : ( $\mathbb{Z}$ ,+) merupakan grup abelian
terhadap perkalian $\cdot$ }: $\mathbb{Z}$ bersifat assosiatif

$(\forall a,b,c \in \mathbb{Z})(a \cdot b)\cdot c=a \cdot(b\cdotc)$
terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): $\mathbb{Z}$ bersifat distributif kiri dan distributif kanan

$\circ$ $(\forall a, b, c \in \mathbb{Z})c \cdot(a + b)=(c \cdot a)+(c \cdot b)$ .

$\circ$ $(\forall a, b, c \in \mathbb{Z})(a + b)\cdot c=(a \cdot c)+(b \cdot c)$

Dari fenomena sifat himpunan $\mathbb{Z}$ terhadap penjumlahan $+$
dan perkalian $\cdot$ yang telah dijelaskan di atas, didefiniskan struktur abstrak yang disebut ring sebagai berikut.

Definisi 1. Misalkan $R$ adalah sebarang himpunan tak kosong, dan pada $R$ didefinisikan dua
operasi biner yang dinotasikan dengan $+$ dan $\cdot$ dan yang selanjutnya
disebut operasi penjumlahan dan perkalian.
Himpunan $R$ disebut ring terhadap operasi penjumlahan $+$ dan perkalian $\cdot$
jika:

terhadap penjumlahan $+$ : ( $R$ ,+) merupakan grup abelian
terhadap perkalian $\cdot$ }: $R$ bersifat assosiatif

$(\forall a,b,c \in R)(a \cdot b)\cdot c=a \cdot(b\cdotc)$
terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): $R$ bersifat distributif kiri dan distributif kanan

$\circ$ $(\forall a, b, c \in R)c \cdot(a + b)=(c \cdot a)+(c \cdot b)$ .

$\circ$ $(\forall a, b, c \in R)(a + b)\cdot c=(a \cdot c)+(b \cdot c)$

Agar lebih efisien dalam penulisan, ring $R$ terhadap operasi penjumlahan $+$ dan perkalian $\cdot$ dinotasikan ( $R,+,\cdot$ ). Nampak jelas bahwa definisi ring merupakan abstraksi dari suatu objek beserta sifat-sifatnya terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, yakni himpunan bilangan bulat $\mathbb{Z}$ terhadap penjumlahan dan perkalian. Dengan demikian, $\mathbb{Z}$ merupakan contoh ring terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian, dan ditulis ( $\mathbb{Z},+,\cdot$ ).

Berikut contoh-contoh yang lain:

Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional $\mathbb{Q}$ , himpunan bilangan real $\mathbb{R}$ , dan himpunan bilangan kompleks $\mathbb{C}$ juga merupakan ring terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan yang sudah kita kenal sehari-hari. Oleh karena itu, dapat dituliskan dengan notasi

$\circ$ Ring ( $\mathbb{Q},+,\cdot$ ),

$\circ$ Ring ( $\mathbb{R},+,\cdot$ ),

$\circ$ Ring ( $\mathbb{C},+,\cdot$ ).

Namun himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ bukan merupakan ring sebab terhadap penjumlahan bukan merupakan grup.
Pandang himpunan matriks bujursangkar berukuran $2 \times 2$ dengan komponen-komponen bilangan real, yakni
$M_{2 \times 2}(\mathbb{R})=\left\{ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \mid a_{ij} \in \mathbb{R}, i,j=1,2 \right\}.$

Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian matriks, dapat ditunjukkan bahwa $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.Selanjutnya untuk setiap bilangan asli $n$ , dapat ditunjukkan bahwa

$M_{n\times n}(\mathbb{R})=\left\{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\mid a_{ij} \in \mathbb{R}\right\}.$

merupakan ring terhadap operasi terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Proses memperluas dari $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ ke $M_{n\times n}(\mathbb{R})$ merupakan salah contoh proses generalisasi.
Pandang himpunan semua fungsi dari $\mathbb{R}$ ke $\mathbb{R}$ sebagai berikut
$F(\mathbb{R},\mathbb{R})=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\mid f \; \text{fungsi}\}.$

Dari Kalkulus, kita dapat mendefinisikan operasi penjumlahan fungsi dan juga perkalian fungsi sebagai berikut. Untuk sebarang $f, g \in F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ didefi\-nisikan $f+g$ dan $f\cdot g$
sebagai berikut:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

dan

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

untuk setiap $x\in \mathbb{R}$ .
Dengan menggunakan sifat-sifat dalam kalkulus, dapat ditunjukkan bahwa $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ merupakan ring.
Diberikan himpunan kuasa dari $A$ , yaitu himpunan semua himpunan bagian $A$ , yang dinotasikan
$2^A=\{S \mid S \subseteq A\}.$

Dapat ditunjukkan bahwa $(2^A, +, \cdot)$ merupakan ring, dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan sebagai berikut:

$(\forall S_1, S_2 \in 2^A) S_1+ S_2=(S_1-S_2)\cup (S_2-S_1)$

dan

$(\forall S_1, S_2 \in 2^A) S_1\cdot S_2=S_1\cap S_2$

$\circ$	$(\forall a, b, c \in \mathbb{Z})c \cdot(a + b)=(c \cdot a)+(c \cdot b)$ .
$\circ$	$(\forall a, b, c \in \mathbb{Z})(a + b)\cdot c=(a \cdot c)+(b \cdot c)$

$\circ$	Ring ( $\mathbb{Q},+,\cdot$ ),
$\circ$	Ring ( $\mathbb{R},+,\cdot$ ),
$\circ$	Ring ( $\mathbb{C},+,\cdot$ ).