Relasi Ekuivalensi Untuk Mempartisi Suatu Himpunan Tak Kosong

Misalkan $A$ dan $B$ adalah dua himpunan tak kosong. Suatu relasi $\mathcal{R}$ dari $A$ ke $B$ merupakan suatu himpunan bagian dari $A\times B$ . Selanjutnya jika $(a,b)\in \mathcal{R}$ , kita katakan bahwa $a$ berada dalam relasi $\mathcal{R}$ dengan $b$ , dan cukup dituliskan dengan $a\mathcal{R}b$ .

Sebagai contoh, jika $A$ merupakan himpunan semua bilangan asli dan $B$ adalah himpunan semua bilangan bulat. Sudah kita ketahui bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ pasti mempunyai kelipatan. Dari sini, jika untuk setiap $n\in \mathbb{N}$ dan $m\mathbb{Z}$ didefinisikan $n\mathcal{R}m$ jika $m=kn$ untuk suatu bilangan bulat $k$ maka diperoleh

$\mathcal{R}=\{(n,m)\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{Z}\mid m=kn~\text{untuk suatu bilangan bulat}~k\}.$

Dalam relasi ini, $(2,4)$ dan $(2,-4)$ berada dalam $\mathcal{R}$ tetapi $(3,5)$ tidak berada dalam $\mathcal{R}$ .

Sebagai contoh selanjutnya, diperhatikan himpunan semua garis lurus pada bidang datar, yakni $G=\{g\mid g\equiv y=mx+c~\text{atau}~g\equiv x=c\}$ . Pada $G$ dapat didefinisikan relasi sejajar $(\parallel)$ dan tegak lurus $(\perp)$ . Sebut relasi $\mathcal{R}_{1}$ dan $\mathcal{R}_{2}$ pada $G$ didefinisikan sebagai berikut untuk sebarang garis lurus $f$ dan $g$ di $G$ , $f\mathcal{R}_{1}g$ jika dan hanya jika $f\perp g$ dan $f\mathcal{R}_{2}g$ jika dan hanya jika $f\parallel g$ . Jika diambil $f\equiv y=x+2$ , $g\equiv y=-x+3$ dan $h\equiv y=x-3$ , maka diperoleh $f\mathcal{R}_{1}g$ yang artinya $f\perp g$ dan $f\mathcal{R}_{2}h$ yang artinya $f\parallel h$ .

Dari relasi $\perp$ dan $\parallel$ di atas, dapat diperoleh beberapa perbedaan, yakni:

Untuk setiap $g\in G$ berlaku $g\parallel g$ , tetapi tidak berlaku $g\perp g$ .
Untuk setiap $f,g\in G$ , jika $f\parallel g$ maka berlaku $g\parallel f$ . Sifat ini juga berlaku pada relasi $\perp$ , yakni untuk setiap $f,g\in G$ , jika $f\perp g$ maka berlaku $g\perp f$ .
Untuk setiap $f,g,h\in G$ , jika $f\parallel g$ dan $g\parallel h$ maka berlaku $f\parallel h$ . Sifat ini tidak berlaku pada relasi $\perp$ , yakni jika $f\perp g$ dan $g\perp h$ , maka $f$ tidak akan tegak lurus dengan $h$ .

Dari tiga fenomena di atas, berikut didefinisikan relasi refleksif, simetris, dan transitif, serta relasi yang memenuhi ketiga jenis relasi tersebut.

Definisi 1. Diberikan relasi $\mathcal{R}$ pada himpunan $A$ .

Relasi $\mathcal{R}$ disebut relasi refleksif jika untuk setiap $a\in A$ , berlaku $a\mathcal{R}a$ .
Relasi $\mathcal{R}$ disebut relasi simetris jika untuk setiap $a,b\in A$ dengan $a\mathcal{R}b$ maka berlaku $b\mathcal{R}a$ .
Relasi $\mathcal{R}$ disebut relasi transitif jika untuk setiap $a,b,c\in A$ dengan $a\mathcal{R}b$ dan $b\mathcal{R}c$ maka berlaku $a\mathcal{R}c$ .
Relasi $\mathcal{R}$ disebut relasiekuivalensi jika relasi $\mathcal{R}$ memenuhi sekaligus relasi reflksif, simetris, dan transitif.

Dari urian di atas, dapat diperoleh bahwa relasi $\parallel$ merupakan relasi ekuivalensi pada $G$ tetapi relasi $\perp$ bukan merupakan relasi ekuivalensi pada $G$ .

Supaya lebih memahami mengenai relasi ekuivalensi, diperhatikan contoh berikut ini.

Contoh 2. Diberikan relasi $\mathcal{R}$ pada himpunan semua bilangan bulat $\mathbb{Z}$ yang didefinisikan sebagai berikut :

$x\mathcal{R}y\Longleftrightarrow x^{2}+2y=y^{2}+2x.$

untuk setiap $x,y\in \mathbb{Z}$ .
Bukti.

Dibuktikan $\mathcal{R}$ relasi refleksif. Untuk sebarang $x\in \mathbb{Z}$ berlaku $x\mathcal{R}x$ sebab $x^{2}+2x=x^{2}+2x$ . Jadi $\mathcal{R}$ merupakan relasi refleksif.
Dibuktikan $\mathcal{R}$ relasi simetris. Diambil sebarang $x,y\in \mathbb{Z}$ dengan $x\mathcal{R}y$ , artinya $x^{2}+2y=y^{2}+2x$ . Diperhatikan bahwa $y^{2}+2x=x^{2}+2y$ , sehingga $y\mathcal{R}x$ . Jadi $\mathcal{R}$ merupakan relasi simetris.
Dibuktikan $\mathcal{R}$ relasi transitif. Diambil sebrang $x,y,z\in \mathbb{Z}$ dengan $x\mathcal{R}y$ dan $y\mathcal{R}z$ . Dari $x\mathcal{R}y$ diperoleh $x^{2}+2y=y^{2}+2x\iff x^{2}-2x=y^{2}-2y$ . Di lain pihak, dari $y\mathcal{R}z$ diperoleh $y^{2}+2z=z^{2}+2y\iff y^{2}-2y=z^{2}-2z$ . Dengan demikian diperoleh $x^{2}-2x=y^{2}-2y=z^{2}-2z$ , dengan kata lain $x^{2}-2x=z^{2}-2z\iff x^{2}+2z=z^{2}+2x$ . Diperoleh $x\mathcal{R} z$ , jadi terbukti $\mathcal{R}$ relasi transitif.

Dari (1), (2), dan (3), diperoleh bahwa $\mathcal{R}$ merupakan relasi ekuivalensi.

$blacksquare$