Apakah Yang Dimaksud Dengan Operasi Biner?

Dalam kehidupan sehari-hari, kita telah mengenal dan menggunakan berbagai operasi bilangan. Untuk lebih mudahnya, kita dapat mengambil satu contoh, yaitu operasi penjumlahan bilangan bulat, yang sering kita gunakan dalam menghitung banyaknya uang (rupiah) yang kita punyai. Apabila kita mempunyai satu lembar uang $1.000$ dan satu lembar uang $500$ , maka total uang yang kita punyai adalah $1.000+500 = 1.500$ . Dalam perhitungan jumlahan tersebut, yang kita lakukan sebenarnya adalah mengoperasikan dua bilangan di dalam himpunan $\mathbb{Z}$ dan selanjutnya kita mendapatkan hasil berupa bilangan yang termuat di dalam himpunan $\mathbb{Z}$ . Pehitungan ini dikenal sebagai operasi penjumlahan bilangan bulat.

Perhatikan bahwa bentuk pengoperasian jumlahan dua bilangan bulat seperti yang dicontohkan di atas, secara matematis dapat kita lihat sebagai suatu fungsi dengan domain $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ dan kodomain $\mathbb{Z}$ . Fungsi tersebut dinotasikan dengan simbol $+$ . Dengan demikian, secara ringkas, operasi bilangan bulat adalah suatu fungsi

$\begin{eqnarray*} +:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}&\longrightarrow&\mathbb{Z}\\ (a,b)&\mapsto& +((a,b)). \end{eqnarray*}$

Mungkin para pembaca kurang familiar dengan notasi $+((a,b))$ di atas, sebab notasi fungsi yang sering kita jumpai menggunakan huruf $f$ , $g$ , dan lain sebagainya. Notasi $+((a,b))$ tersebut memberi makna suatu elemen di $\mathbb{Z}$ yang merupakan hasil peta dari elemen $(a,b)$ oleh fungsi $+$ . Mengingat dalam pembicaraan ini yang dimaksud fungsi $+$ adalah operasi penjumlahan bilangan bulat, notasi $+((a,b))$ juga dapat dinotasikan dengan notasi $a+b$ . Jadi, dalam konteks pembicaraan ini, $+((a,b))$ dan $a+b$ merupakan barang yang sama. Sebagai contoh,

$+((1.000,500))=1.000+500=1.500\in\mathbb{Z}$ .

Berdasarkan fenomena tersebut, yakni operasi penjumlahan bilangan bulat $+$ yang dapat dipandang sebagai fungsi $+:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Z}$ , kita lakukan suatu proses abstraksi sebagai berikut.

Himpunan $\mathbb{Z}$ diabstraksikan menjadi sebarang himpunan tak kosong $A$ .
Fungsi $+:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Z}$ diabstraksikan menjadi sebarang fungsi
$\begin{eqnarray*} *:A\times A&\longrightarrow&A\\ (x,y)&\mapsto& *((x,y))\overset{\text{dinotasikan}}{=}x*y. \end{eqnarray*}$

Fungsi $*$ ini selanjutnya disebut operasi biner pada himpunan tak kosong $A$ . Kata “biner” berasal dari kata binary atau $2$ –ary, yang dalam konteks ini mempunyai makna pengoperasian dilakukan untuk setiap dua pasangan berurutan $(x,y)$ di dalam $A\times A$ .

Contoh:

Dari penjelasan di atas, jelas bahwa operasi penjumlahan bilangan bulat $+$ merupakan operasi binear pada $\Z$ .
Operasi penjumlahan bilangan rasional $+$ merupakan operasi biner pada $\Q$ .
Operasi penjumlahan bilangan real $+$ merupakan operasi biner pada $\R$ .
Operasi penjumlahan bilangan bulat $+$ bukan operasi biner pada himpunan semua bilangan ganjil $1+2\Z$ , sebab $1+3=4\notin 1+2\Z$ , yang berarti $+$ bukanlah fungsi dari $(1+2\Z)\times(1+2\Z)$ ke $1+2\Z$ .

Kita perhatikan kembali himpunan tak kosong $A$ . Dari uraian penjelasan di atas, kita dapat membuat kesimpulan bahwa suatu pengaitan/relasi $*$ dari $A\times A$ ke $A$ disebut operasi biner jika $*$ merupakan fungsi dari $A\times A$ ke $A$ . Dengan demikian, untuk mengecek apakah suatu pengaitan $*$ dari $A\times A$ ke $A$ merupakan operasi biner atau bukan, cukup dicek kebenaran dua pernyataan berikut:

(Ketertutupan Hasil Operasi) Untuk setiap $x,y\in A$ , $x*y$ berada di dalam $A$ .
(Ketunggalan Hasil Operasi/Well-Defined)

Untuk setiap $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A$ , apabila $(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$ maka berakibat $x_1*y_1=x_2*y_2.$

Pernyataan no.2 di atas memberikan pengertian bahwa hasil operasi $*$ tidak bergantung pada notasi/simbol elemen yang kita ambil untuk menyatakan elemen di himpunan $A$ . Pernyataan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut:

Untuk setiap $x_1,x_2,y_1,y_2\in A$ , apabila

$\begin{eqnarray*} x_1&=&x_2\\ y_1&=&y_2 \end{eqnarray*}$

maka

$\begin{eqnarray*} x_1*y_1&=&x_2*y_2. \end{eqnarray*}$

Contoh:

Diberikan himpunan $G$ $=\Q\backslash\{-1\}$ , dan didefinisikan operasi $*$ dengan definisi $a*b=a+b+ab$ untuk setiap $a,b\in G$ . Akan dicek apakah $*$ merupakan operasi biner pada $G$ .

Pertama, dicek apakah untuk setiap $a,b\in G$ berlaku $a*b\in G$ . Diambil sebarang $a,b\in G$ , hal ini berarti $a,b\in\Q$ dan $a,b\neq -1$ . Jelas bahwa $a*b=a+b+ab\in\Q$ , sehingga tinggal ditunjukkan bahwa $a*b\neq -1$ . Andaikan $a*b=-1$ , berarti $a+b+ab=-1$ . Dengan menjumlahkan kedua ruas persamaan terakhir tersebut dengan 1, diperoleh $(a+1)(b+1)=0$ . Hal tersebut berakibat $a+1=0$ atau $b+1=0$ , yang kontradiksi dengan fakta bahwa $a,b\neq -1$ . Dengan demikian pengandaian salah, yang benar adalah $a*b\neq -1$ . Jadi, terbukti bahwa $a*b\in G$ .

Kedua, dicek apakah operasi $*$ well-defined. Diambil sebarang $a_1,a_2,b_1,b_2\in G$ dengan $a_1=a_2$ dan $b_1=b_2$ . Perhatikan bahwa

$a_1*b_1=a_1+b_1+a_1 b_1=a_2+b_2+a_2 b_2 = a_2*b_2.$

Dengan demikian, operasi $*$ well-defined.

Kesimpulan: $*$ merupakan operasi biner pada $G$ .