Grup Simetri dan Grup Permutasi: Suatu Contoh Grup

Misal diberikan himpunan tak kosong X. Diperhatikan fungsi-fungsi bijektif dari X ke X. Suatu fungsi bijektif dari X ke X disebut permutasi dari X.
Kita kumpulkan semua fungsi bijektif dari X ke X, sehingga kita peroleh himpunan

    \[S_{X}\overset{def.}{=}\{f:X\longrightarrow X\mid f\text{ adalah fungsi bijektif}\}.\]

Jelas bahwa himpunan S_X merupakan himpunan yang tidak kosong, sebab fungsi identitas id:X\longrightarrow X termuat di S_X. Apabila himpunan tersebut kita lengkapi dengan operasi komposisi fungsi, yaitu \circ, maka S_X merupakan suatu grup.

  • Grup (S_{X},\circ) disebut Grup Simetri dari X.
  • Suatu subgrup dari (S_{X},\circ) disebut Grup Permutasi.

Pertanyaan:

Apakah (S_{X},\circ) merupakan grup komutatif?
(S_{X},\circ)\ bukan grup komutatif.

GRUP SIMETRI S_{n}

Sekarang kita akan melihat permutasi-permutasi dari himpunan berhingga X=I_{n}=\{1,2,\cdots,n\}, n\geq 1.
Misal diambil contoh untuk n=3. Perhatikan semua kemungkinan permutasi dari I_{3} sebagai berikut:

    \[\begin{array}{rcccl} I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ \end{array} \qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{1}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}\]

    \[\begin{array}{rcccl} I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ I_{3}=\{ & 1, & 3, & 2 & \}\\ \end{array} \qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{2}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}\]

    \[\begin{array}{rcccl} I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ I_{3}=\{ & 2, & 1, & 3 & \}\\ \end{array} \qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{3}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}\]

    \[\begin{array}{rcccl} I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ I_{3}=\{ & 2, & 3, & 1 & \}\\ \end{array} \qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{4}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}\]

    \[\begin{array}{rcccl} I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ I_{3}=\{ & 3, & 1, & 2 & \}\\ \end{array} \qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{5}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}\]

    \[\begin{array}{rcccl} I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ I_{3}=\{ & 3, & 2, & 1 & \}\\ \end{array} \qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{6}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}\]

Untuk mempersingkat penulisan, suatu permutasi dapat ditulis dengan notasi dua-baris. Sebagai contoh,

    \[\sigma_{2}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.\]

Baris pertama dari notasi tersebut menyatakan domain dari fungsi \sigma_{2}, dan baris kedua secara berturut-turut menyatakan hasil peta bilangan di atasnya oleh fungsi \sigma_2, yaitu \sigma_{2}(i), i=1,2,3. Dari notasi tersebut, mudah dipahami bahwa \sigma_{2}(1)=1, \sigma_{2}(2)=3, dan \sigma_{2}(3)=2.

Himpunan semua permutasi dari I_{n}, yakni S_{I_{n}}, selanjutnya akan dinotasikan dengan notasi S_{n} agar lebih efisien dalam penulisannya. Dengan demikian, dari uraian di atas diperoleh

    \[S_{3}=\{\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3},\sigma_{4},\sigma_{5},\sigma_{6}\},\]

yang merupakan grup simetri terhadap operasi komposisi fungsi \circ.

Latihan:

Lengkapilah Tabel Cayley berikut ini!

\circ \sigma_{1} \sigma_{2} \sigma_{3} \sigma_{4} \sigma_{5} \sigma_{6}
\sigma_{1}
\sigma_{2}
\sigma_{3} \sigma_{4}
\sigma_{4}
\sigma_{5}
\sigma_{6}

Ilustrasi Perhitungan Operasi Komposisi:

\sigma_{3}\circ\sigma_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \sigma_{4} sebab

    \[\begin{array}{rcccl} & \sigma_{3} & & &\\ I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & \downarrow & & & \\ I_{3}=\{ & 2, & 1, & 3 & \}\\ \end{array} \qquad\circ \qquad \begin{array}{rcccl} & \sigma_{2} & & &\\ I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & \downarrow & & & \\ I_{3}=\{ & 1, & 3, & 2 & \}\\ \end{array}\]

    \[1\overset{\sigma_{2}}{\longrightarrow}1\overset{\sigma_{3}}{\longrightarrow}2\qquad\Rightarrow\qquad 1\overset{\sigma_{3}\circ\sigma_{2}}{\longrightarrow}2\]

    \[\begin{array}{rcccl} & \sigma_{3} & & &\\ I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & & & \downarrow & \\ I_{3}=\{ & 2, & 1, & 3 & \}\\ \end{array} \qquad\circ \qquad \begin{array}{rcccl} & \sigma_{2} & & &\\ I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & & \downarrow & & \\ I_{3}=\{ & 1, & 3, & 2 & \}\\ \end{array}\]

    \[2\overset{\sigma_{2}}{\longrightarrow}3\overset{\sigma_{3}}{\longrightarrow}3\qquad\Rightarrow\qquad 2\overset{\sigma_{3}\circ\sigma_{2}}{\longrightarrow}3\]

    \[\begin{array}{rcccl} & \sigma_{3} & & &\\ I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & & \downarrow & & \\ I_{3}=\{ & 2, & 1, & 3 & \}\\ \end{array} \qquad\circ \qquad \begin{array}{rcccl} & \sigma_{2} & & &\\ I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\ & & & \downarrow & \\ I_{3}=\{ & 1, & 3, & 2 & \}\\ \end{array}\]

    \[3\overset{\sigma_{2}}{\longrightarrow}2\overset{\sigma_{3}}{\longrightarrow}1\qquad\Rightarrow\qquad 3\overset{\sigma_{3}\circ\sigma_{2}}{\longrightarrow}1\]