Misal diberikan himpunan tak kosong $X$. Diperhatikan fungsi-fungsi bijektif dari $X$ ke $X$. Suatu fungsi bijektif dari $X$ ke $X$ disebut permutasi dari $X$.
Kita kumpulkan semua fungsi bijektif dari $X$ ke $X$, sehingga kita peroleh himpunan
$$S_{X}\overset{def.}{=}\{f:X\longrightarrow X\mid f\text{ adalah fungsi bijektif}\}.$$
Jelas bahwa himpunan $S_X$ merupakan himpunan yang tidak kosong, sebab fungsi identitas $id:X\longrightarrow X$ termuat di $S_X$. Apabila himpunan tersebut kita lengkapi dengan operasi komposisi fungsi, yaitu $\circ$, maka $S_X$ merupakan suatu grup.
- Grup $(S_{X},\circ)$ disebut Grup Simetri dari $X$.
- Suatu subgrup dari $(S_{X},\circ)$ disebut Grup Permutasi.
Pertanyaan:
Apakah $(S_{X},\circ)$ merupakan grup komutatif?
$(S_{X},\circ)$\ bukan grup komutatif.
GRUP SIMETRI $S_{n}$
Sekarang kita akan melihat permutasi-permutasi dari himpunan berhingga $X=I_{n}=\{1,2,\cdots,n\}$, $n\geq 1$.
Misal diambil contoh untuk $n=3$. Perhatikan semua kemungkinan permutasi dari $I_{3}$ sebagai berikut:
$$
\begin{array}{rcccl}
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
\end{array}
\qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{1}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}
$$
$$
\begin{array}{rcccl}
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
I_{3}=\{ & 1, & 3, & 2 & \}\\
\end{array}
\qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{2}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}
$$
$$
\begin{array}{rcccl}
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
I_{3}=\{ & 2, & 1, & 3 & \}\\
\end{array}
\qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{3}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}
$$
$$
\begin{array}{rcccl}
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
I_{3}=\{ & 2, & 3, & 1 & \}\\
\end{array}
\qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{4}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}
$$
$$
\begin{array}{rcccl}
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
I_{3}=\{ & 3, & 1, & 2 & \}\\
\end{array}
\qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{5}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}
$$
$$
\begin{array}{rcccl}
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
I_{3}=\{ & 3, & 2, & 1 & \}\\
\end{array}
\qquad \longrightarrow\qquad \sigma_{6}:I_{3}\rightarrow I_{3} \text{ fungsi bijektif}
$$
Untuk mempersingkat penulisan, suatu permutasi dapat ditulis dengan notasi dua-baris. Sebagai contoh,
$$\sigma_{2}=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}.
$$
Baris pertama dari notasi tersebut menyatakan domain dari fungsi $\sigma_{2}$, dan baris kedua secara berturut-turut menyatakan hasil peta bilangan di atasnya oleh fungsi $\sigma_2$, yaitu $\sigma_{2}(i)$, $i=1,2,3$. Dari notasi tersebut, mudah dipahami bahwa $\sigma_{2}(1)=1$, $\sigma_{2}(2)=3$, dan $\sigma_{2}(3)=2$.
Himpunan semua permutasi dari $I_{n}$, yakni $S_{I_{n}}$, selanjutnya akan dinotasikan dengan notasi $S_{n}$ agar lebih efisien dalam penulisannya. Dengan demikian, dari uraian di atas diperoleh
$$S_{3}=\{\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3},\sigma_{4},\sigma_{5},\sigma_{6}\},$$
yang merupakan grup simetri terhadap operasi komposisi fungsi $\circ$.
Latihan:
Lengkapilah Tabel Cayley berikut ini!
| $\circ$ | $\sigma_{1}$ | $\sigma_{2}$ | $\sigma_{3}$ | $\sigma_{4}$ | $\sigma_{5}$ | $\sigma_{6}$ |
| $\sigma_{1}$ | ||||||
| $\sigma_{2}$ | ||||||
| $\sigma_{3}$ | $\sigma_{4}$ | |||||
| $\sigma_{4}$ | ||||||
| $\sigma_{5}$ | ||||||
| $\sigma_{6}$ |
Ilustrasi Perhitungan Operasi Komposisi:
$\sigma_{3}\circ\sigma_{2} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}\circ
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
=
\sigma_{4}
$ sebab
$$
\begin{array}{rcccl}
& \sigma_{3} & & &\\
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& \downarrow & & & \\
I_{3}=\{ & 2, & 1, & 3 & \}\\
\end{array}
\qquad\circ \qquad
\begin{array}{rcccl}
& \sigma_{2} & & &\\
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& \downarrow & & & \\
I_{3}=\{ & 1, & 3, & 2 & \}\\
\end{array}
$$
$$1\overset{\sigma_{2}}{\longrightarrow}1\overset{\sigma_{3}}{\longrightarrow}2\qquad\Rightarrow\qquad 1\overset{\sigma_{3}\circ\sigma_{2}}{\longrightarrow}2$$
$$
\begin{array}{rcccl}
& \sigma_{3} & & &\\
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& & & \downarrow & \\
I_{3}=\{ & 2, & 1, & 3 & \}\\
\end{array}
\qquad\circ \qquad
\begin{array}{rcccl}
& \sigma_{2} & & &\\
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& & \downarrow & & \\
I_{3}=\{ & 1, & 3, & 2 & \}\\
\end{array}
$$
$$2\overset{\sigma_{2}}{\longrightarrow}3\overset{\sigma_{3}}{\longrightarrow}3\qquad\Rightarrow\qquad 2\overset{\sigma_{3}\circ\sigma_{2}}{\longrightarrow}3$$
$$
\begin{array}{rcccl}
& \sigma_{3} & & &\\
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& & \downarrow & & \\
I_{3}=\{ & 2, & 1, & 3 & \}\\
\end{array}
\qquad\circ \qquad
\begin{array}{rcccl}
& \sigma_{2} & & &\\
I_{3}=\{ & 1, & 2, & 3 & \}\\
& & & \downarrow & \\
I_{3}=\{ & 1, & 3, & 2 & \}\\
\end{array}
$$
$$3\overset{\sigma_{2}}{\longrightarrow}2\overset{\sigma_{3}}{\longrightarrow}1\qquad\Rightarrow\qquad 3\overset{\sigma_{3}\circ\sigma_{2}}{\longrightarrow}1$$